高等数学一元函数不定积分求法的分析

摘 要：在社会不断发展和进步的今天，各行各业都需要应用数学来帮助企业的管理发展。高数已经与我们的生活紧密相关，高等数学作为理工科的基础学科，具有高度抽象性和严谨逻辑性的特点。本文旨在讨论一元函数不定积分求法的解析，缩短学生学习的时间，减轻学习不定积分法的负担。

关键词：高等数学;一元函数;不定积分;凑积分法

在数学积分学当中，积分是微积分当中的一个核心的概念，在一个函数中可以存在定积分而不存在不定积分;抑或是只存在定积分，而不存在不定积分。定积分和不定积分作为积分学中的两个重要组成部分。定积分是用来求某种极限，是一个具体的数值;不定积分则作为逆运算的求导方法，作为一种函数表达式而存在。

1 不定积分的概念

在1677年的牛顿-布莱尼茨公式中提出，一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。因此在函数定积分的计算就可以通过不定积分来简便计算[1]。求解函数f（x）的不定积分，其含义就是求出f（x）所有的原函数。求出一个原函数，加上C（任意常数）就可以得到符合原函数性质的不定积分。

2 探索不定积分多种解法的重要性

在解决一元函数不定积分計算中，通过其中的数学逻辑以及数学思想，锻炼学生的数学思维。也因为不定积分的灵活性对于培养发散性思维具有重要的作用。

在一道题目中存在数种不同的解题方法，如何在多种解题方法中选择到最优解，在准确解题的同时又能提高效率，最快地解出自己想要的答案。在不定积分中，要注重这一部分内容的学习，打好基础。在解题的过程中首先要学会观察，观察被解题目的特征，迅速地找到解决的方式，筛选出最优的解决方法，简洁有效地解决题目。探索最优解题方法的过程同时也锻炼思维方式，在解题的过程中对于观察角度的不同以及思考方式的差异，所应用的解题策略自然不同[2]。在不同方面思考的时候思维创造性也得到了锻炼。掌握常规解题需要用到的基本公式，以及解题方法。不定积分解题主要有：换元积分法、分部积分法、有理函数的积分以及凑平方差法。熟练掌握函数与不定积分的定义和不定积分的线性性质，以及之间存在的关系。微分与不定积分的求导过程是互逆的。

3 学习中存在的问题

不定积分作为高等数学当中的重点、难点之一，一个题目常常有多种解法。想要学好不定积分一定要打好数学基础。在常规高等数学学习的过程中，由于时间和课时限制，为了提高效率往往先熟悉概念、公式，再去例题解析，再去做课后题以巩固学习到的知识。这种学习模式带来的弊端就是解题方法常常只是例题中学习到的普遍的解题方式。而在课后学习以及考试当中，对例题当中现成的解题方式死板地套用。导致不能对题目更好地理解，解题方法的僵化，无法做到举一反三。

4 一元函数不定积分解题方法

4.1 基本步骤

高等数学一元函数不定积分的求解过程较为复杂，其中涉及很多有其本身固有的客观规律，因此只要按照相应的规律完成求解，就可以降低计算难度。具体的解题步骤如下：

第一，观察被积函数的结构特征。被积函数的特征决定了后续需要应用到的解题方法，只有确定了一元函数不定积分的本质结构特征后，才能够找出与之对应的积分方法，求出积分。比如，被积函数结构特征在形式上与基本积分公式一致就可以采用直接积分法，或者化简、变形后就可以变成和基本积分公式相同的形式，也可以采用直接积分法。而被积函数结构特征可以借助凑微分的方式变成和基本积分公式相同的形式，则采用一类换元积分方法，如果被积函数结构特征含有根号且只能通过换元的方法脱除，则采用二类换元积分方法。如果，被积函数中是由两类不同性质的函数的乘积形式组成，那么这就可以采用分部积分法。

第二，按照相应的积分方法进行求解，并且检验结果的正确性，确保计算准确。

除以上形式外的有理函数，皆采用固定方式。部分分式项数为原有有理函数的分母整体的次数之和。将分式分母为1的式子拆开时，分母所设的x次数相应减一。当分式分母x的次数为1时，将分子设为A;当分式分母次数为2时，将分子设为Ax+B，在通过三种方法代换时可用待定系数法确定未知数。

5 正确掌握以及灵活运用

在通常的高等数学教育中一般会介绍几种不定积分的解题方法，有基本的换元法、直接积分法、分部积分法、有理函数的积分、查积分表等。但对于刚刚接触高等数学微积分的初学者来说，虽然解题方法多，解题思路灵活但常常不知道用那种方式进行不定积分的运算[3]。因为积分计算所特有的灵活性和复杂性，为了计算中的应用方便，将常用的公式汇集成积分表。积分表作为不定积分计算的基本，应当首先掌握，通过将式子进行简单的变形就可在基本表内查得所要的结果。

6 结语

不定积分作为高等数学微积分当中的基本概念，利用不定积分计算是学生需要掌握的必要能力。由于微积分计算的灵活性，可以通过不同的计算形式得到相同的结果，这种形式的计算对于培养开放的发散性思维具有很大的帮助，也增强了学生的科学探索能力与创新精神。

参考文献：

[1]高昕.简析一元函数积分的解题策略与技巧[J].高等数学研究，2019，22（06）：20-24.

[2]李聪，郭豆豆.一元函数的定积分计算[J].数学学习与研究，2018（01）：4.

作者简介：周钟抗（1997—），汉族，海南海口人，本科在读，研究方向：数学与应用数学。