函数与不等式齐驱并驾 多角度解决最值问题——2020年全国Ⅱ卷第21题一题多解探讨

张培杰

(云南省大理大学教师教育学院 671000)

一、真题再现

(2020年全国Ⅱ卷第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论f(x)在(0,π)的单调性；

通过观察题目发现，该题以三角函数为背景，考查判断函数在区间内的单调性、求函数值域、不等式证明等多个知识点. 题目综合性强，难度较大，对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求，很好地体现了课程标准要求的核心素养导向，具有高考命题需要的区分度. 下面重点给出第(2)问的一题多解，对于第(1)、(3)问仅给出一种可行的解答.

二、真题解析

(1)分析要讨论函数f(x)在区间内的单调性，只需要求导，由导函数值在区间内的正(负)可得到原函数在区间内单调递增(减)，该题是常规考法.

分析1直接求导，利用函数单调性求最值.要想求出函数的最值(取值范围)，借助导数先判断单调性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助导数解答这个问题.

评析这种解法是能够容易想到的，观察解答过程可以发现，对计算的要求较高. 此外，需要考生对三角函数的图象性质非常熟悉才能由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)正确地求出x的范围. 体现了数学运算核心素养，考查学生的综合运用能力.

分析2利用三角函数周期性，转化为连续函数在区间上的最值问题.周期性是三角函数的一个重要性质，该题以三角函数为背景，易想到利用周期性解决. 由三角函数周期性，可以把问题转化为求一个闭区间内的最值问题，只要求出函数在这个区间内的最值即可.

评析这种解法较为灵活，要求学生具有抽象概括的能力、直观想象的核心素养，能够在看到三角函数时候即想到周期性，并将问题转为为一个闭区间上的最值问题. 学生在平时复习中，要熟练掌握基础知识，还要注意抽象概括能力的培养.

分析3平方处理，利用四元均值不等式证明.题目要证的式子中含有绝对值，可以通过平方去掉绝对值. 平方后，问题转化为求乘积的最大值，可以构造四元均值不等式.

分析4先降幂化次数为1，再平方处理，利用四元均值不等式证明. 题目所给函数表达式两个因式的次数不统一，可以利用降幂公式把两项次数都化为1. 此时，再通过平方去掉绝对值，问题再次转为为求乘积的最大值，可以构造四元均值不等式.

评析这两种解法都蕴含两个关键思路，一是看到绝对值想到通过平方去绝对值，二是能够想到均值不等式中“和定积最大”解决最值问题. 不同的是，解法3直接平方处理，解法4先降幂再处理.不论哪一种解法，都要求对三角函数相关公式非常熟悉，有较强的运算能力才能正确解答. 此外，教材中所学的是二元均值不等式，这两种解法都用到四元均值不等式，要求学生具有较强的逻辑推理能力.

评析该题涉及到三角函数性质，绝对值处理，数列累乘，放缩证明不等式等知识点和相关方法，综合性强，难度较大，很好体现了高考的选拔性功能. 在平时复习中，首先应注重夯实基础，其次要注意多个知识点的融合，培养学生的综合运用能力.

可以发现，高考数学压轴题融合的知识点较多，综合性强，难度大，是最容易体现高考区分度的题型. 基于对今年高考题的分析解答，提出如下复习建议：

1.重视基础知识学习，强化基本技能训练

基础知识是“四基”能力培养和核心素养养成的最重要载体，概念的形成过程就是数学抽象和数学建模的过程.因此，要深刻理解相关知识的基本概念，理解公式定理的形成过程，掌握基本方法的适用“题境”，加强审读问题、分析问题、解决问题的训练.

2. 关注数学思想方法的应用，培养数学核心素养

在平时教学和学习中，引导学生正确使用数学思想放方法分析问题，训练他们抽象概括、转化问题的能力，提高数学运算能力，从多个方面培养数学核心素养.

3. 研究高考命题思路，总结命题规律

高考试题是命题专家根据《课程标准》和考试大纲精心打造的，复习中通过研读近些年的高考试题，分析理解命题思路、意图和理念，总结命题规律. 通过研读高考题，避免大搞题海战术，实现高效备考.