一道新高考压轴题引发的思考——立体几何中的轨迹问题

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

一、定义法

利用圆锥曲线的定义解题.

图1

例1 如图，已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1及其边界上运动，若该动点P到棱A1D1与CD的距离相等，则动点P的轨迹是( ).

A．一条线段 B．一段圆弧

C．一段抛物线弧 D．一段椭圆弧

分析依题意，先把空间中“动点P到线A1D1与CD的距离相等”转化为平面内“动点P到棱A1D1与到点D的距离相等”，再根据抛物线的定义，即可得出结论．

解答∵动点P到棱A1D1与CD的距离相等，P到CD的距离为PD，∴动点P到线A1D1与到点D的距离相等.

∴动点P的轨迹是以点D为焦点，A1D1为准线的抛物线.

又∵动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1及其边界上运动，∴动点P的轨迹是一段抛物线.故选C．

点评本题考查立体几何中的轨迹问题的解法，考查空间中点到直线的距离，正确运用抛物线的定义是解题的关键，属基础题．

例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)，若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是____.

图2

∵正方体有12条棱，点P的个数为6，∴这些椭圆与棱AB、AD、AA1、C1C、C1B1、C1D1各有一个交点，与其余6条棱无交点.

点评本题以正方体为载体，考查椭圆的定义和性质，直线与椭圆相交的条件，考查逻辑推理能力和空间想象能力等.正确运用椭圆的定义是解题的关键，综合性较强，属中档题．

二、定理法

利用轨迹的基本定理解题.

例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于( ).

分析我们知道，“过已知点且垂直于已知直线的动直线的轨迹是过已知点且与已知直线垂直的平面”.根据题意，动线段MP的轨迹是正方体过点M且垂直于BN的截面，动点P的轨迹是截面与正方体的交线(不含点M)，画出交线，问题可解．

图3

解答如图，取CC1的中点G，连接DG、GM、MA，则MG∥BC.

∵BC⊥平面ABB1A1，∴MG⊥平面ABB1A1.

∵BN⊂平面ABA1B1，∴BN⊥MG.

∵四边形ABB1A1是正方形，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴BN⊥AM.

又∵MG∩AM=M，∴BN⊥平面ADGM.

∴使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不含点M).

点评本题主要考查正方体的结构特征，考查空间轨迹的基本定理，考查推理能力和空间想象能力等.确定动线段MP的轨迹是解题的关键，属于中档题．

图4

解答依题意，动点P的轨迹是以A为球心，PA=x为半径的球面与正方体表面的交线．

点评本题主要考查正方体的结构特征，考查球的截面的性质，考查函数图象的识别和判断.应用“到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为球心，定长为半径的球面”，确定点P的轨迹是解题的关键.综合性强，属于中档题.

三、截面法

利用圆柱或圆锥的截面的性质解题.

例5 如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线

图5

分析由△ABP的面积是定值，可得动点P到直线AB的距离也是定值，从而动点P的轨迹是以AB为轴的圆柱面与平面α的交线，根据圆柱的轴与平面α的位置关系可得答案．

解答∵△ABP的面积为定值，底边AB的长一定，∴动点P到直线AB的距离为定值，∴点P在以AB为轴的圆柱的侧面上.

∵点P也在平面α内，∴点P在以AB为轴的圆柱侧面与平面α的交线上.

∵平面α与圆柱的轴AB斜交，∴点P的轨迹为椭圆.故选B．

点评本题考查立体几何中轨迹问题的解法，考查空间线面之间的位置关系等.利用圆柱的截面的性质是解决本题的关键，注意圆柱的轴与截面所成的角不同时，得到的截面形状也不同．属基础题.

四、坐标法

建立直角坐标系解题.

例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹是( ).

A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线

图6

分析因为点P是平面AC内的动点，在平面AC内建立直角坐标系，求出点P满足的方程，即可知道动点P的轨迹.

解答建立平面直角坐标系如图，作PE⊥AD于E、EF⊥AD交A1D1于F，连结PF.则PE⊥EF，PF是点P到直线A1D1的距离.

设P(x,y)，则 |PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1.

作PN⊥CD于N，则|PN|=|1-y|.

故动点P的轨迹为双曲线，选B.

点评本题将立体几何中的动点与解析几何中的圆锥曲线巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于考查学生运用多学科知识解决问题的能力，综合性较强，属中档题.

五、向量法

利用向量的性质解题

例7 与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( ).

A．有且只有1个 B．有且只有2个

C．有且只有3个 D．有无数个

分析显然点D、B1满足题设要求，猜想B1D上任一点都满足要求，并证明之．

图7

∴B1D上任一点到这个正方体的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等．故选D．

点评本题主要考查正方体的结构特征，考查空间中点到直线的距离的求法，考查合情推理的能力和综合运用多学科知识解决问题的能力.综合性较强，属中档题.

掌握了上述五种方法，就不难解答本文开头引入的高考真题了，你能用几种方法解答这道题呢？

从上述实例可以看出，解答立体几何中的轨迹问题关键要抓住两个转化：一是空间问题平面化；二是几何问题代数化.根据题型特点，选择合适的方法，再利用平面几何、解析几何和空间向量等知识来实现问题的顺利解决.