基于四基，提升核心素养

陈海波 朱志栋

[摘  要] 2017年版《普通高中数学课程标准》强调要通过高中数学课程学习，使学生获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力;在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学核心素养. 课堂教学中如何落实四基，如何培育核心素养？ 关键还要看我们在一节课中如何确定教学目标，设计教学活动. 这是我们广大一线教师关心的问题，文章以一轮复习“圆的方程”的教学为例， 探讨一轮复习中落实四基、培育核心素养的粗浅观点.

[关键词] 四基;核心素养;圆的方程

问题的提出

2017年版《普通高中数学课程标准》强调要通过高中数学课程学习，使学生获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力;在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学核心素养.

课标中“四基”指的是基础知识、基本技能、基本数学活动经验、基本数学思想方法. 数学核心素养通常包括六大数学核心素养，它指的是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析. 从新课标中可以看出，四基是基础，素养是目的. 数学素养是在数学知识、技能、思想方法、活动经验建构中生成的. 一个学生的数学素养高低关键看学生基础数学知识的掌握是否牢靠、基本思想的领悟是否透彻，基本技能的操作是否娴熟、基本数学活动经验是否丰富. “四基”教学就是培养学生数学素养的主阵地，只有“四基”夯实了，数学素养提升就有可能，“四基”越牢靠、越丰富，数学素养就会越来越丰厚.

课堂教学中如何落实四基，如何培育核心素养？关键还要看我们在一节课中如何确定教学目标，设计教学活动.这是我们广大一线教师关心的问题，笔者以一轮复习“圆的方程”的教学为例，探讨一轮复习中落实四基、培育核心素养的粗浅观点.

从四基到核心素养的教学设计

圆的方程是解析几何的重要组成部分，是高考命题的热点，江苏高考一般出现在填空题12-14位置、解答题17-18位置. 圆的方程内容由圆的标准方程、圆的一般方程和圆的参数方程三个部分组成.同时在圆的方程的复习过程中，学生在掌握四基的基础上，数学核心素养也能得到一定的培养.

1. 教学目标的确定

四基目标的确定

掌握确定圆的几何要素，掌握用待定系数法求圆的标准和一般方程属于基本知识和基本技能的内容;学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题，学会处理参数问题，注重分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于基本活动经验和基本思想的内容.

核心素养目标的确定

通过观察分析培养学生的数学抽象素养和直观想象素养;通过推理运算培养学生逻辑推理素养和数学运算素养;通过方程的设立、编制题目的求解培养学生的数学建模素养和数据分析素养.

2. 教学过程

问题1：三个定点A（4，3），B（5，2），C（1，0）确定几个圆？反之如何呢？

生：三个不共线的点确定唯一的圆，一个圆对应无穷多组不共线的三点.

师：很好，三个不共线的点直接可以抽象为三个独立的条件，也就是说三个独立条件对应着唯一的圆，一个圆对应着无穷多组三个独立的条件.

设计说明：从基本知识角度回顾确定求解一个圆需要三个独立的条件，为圆的方程的求解方法登场做好铺垫.从正向、逆向两个方向让学生弄清楚三个独立条件和圆之间的逻辑关系，渗透辩证法思想，同时也渗透逻辑推理素养的培育.

问题2：求经过三点A（4，3），B（5，2），C（1，0）的圆的方程有哪些方法？

生：设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

生：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

生：直接求基本量a，b，r.

師：求圆的方程本质上就是利用待定系数法建立a，b，r或D，E，F的方程组，体现了化归思想和方程思想.

设计说明：此处设计通过已知三个点求圆的方程问题引出圆的方程的所有的解法. 此处设计还包含了丰富的四基内容和核心素养的内容.具体来看，圆的方程的标准形式和一般形式属于基础知识，待定系数法属于基本方法，方程思想运用属于基本思想方法的内容，同时求圆的方程也体现了用代数方法研究几何问题的解析几何的核心思想. 再从核心素养的角度看，一般方程和标准方程的选择培育了数学建模和逻辑推理的素养，方程组的求解培育了数学运算素养.

问题3：从定点与动点辩证关系角度思考，对问题1可以提出怎样的问题呢？

生：把例1中的定点改成动点如何研究呢？

师：根据提出的问题，你能对本题进行改编吗？

生：求经过三点A（4，3），B（5，2），C（m，0）（m≠7）的圆的方程.

变题1：（2017全国Ⅲ卷20题改编）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于A，B两点，点C（0，1）. 当m变化时，求过A，B，C三点的圆的一般方程.

生：设方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由点A（x1，0），B（x2，0），C（0，1）得x■+Dx1+F=0，x■+Dx2+F=0，1+E+F=0得D=m，E=1，F=-2.圆一般方程为x2+y2+mx+y-2=0.

设计说明：三个独立条件由静态变成动态，以此出发研究，体现了动与静的辩证关系.考查了学生的基本知识和基本经验、基本方法，培养了学生的数学建模、数学运算和逻辑推理素养.

变题2：求经过两点A（4，3），B（5，2）且与x轴相切的圆D的标准方程.

生：设圆标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），根据题意知（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，b=r，由此可得圆的方程.

问题4：若圆D与x轴相切，圆D标准方程有何特点？

生：圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中b=r.

追问：圆D与x轴相切进行类比推广，能提出什么问题呢？

生：圆与y轴相切，圆过原点，圆与一般直线相切，圆的标准方程有何特点？

生：圆与y轴相切时a=r;过原点时a2+b2=r2;与一般直线相切时，圆心到直线距离等于半径r.

变题3：（2016江苏预赛题改编）两圆和x轴、直线y=■x均相切，且一个交点为P（2，2），求两圆半径之和.

生：设两个圆的方程为：（x-■r1）2+（y-r1）2=r■和（x-■r2）2+（y-r2）2=r■，再根据都过点P（2，2）得到3r■-（4+4■）r1+8=0和3r■-（4+4■）r2+8=0，所以r1，r2是方程3r2■-（4+4■）r +8=0两根，由韦达定理知r1+r2=■.

设计说明：以上设计跳出题海，通过对例题题干的改编来实现对知识点的考查，层层深入，环环相扣，能够以较少的时间来完成知识的复习，同时也能够引起学生的求知欲望和认知冲突.具体地看，从四基角度的考查有，通过改变例题的一个条件来考查圆与x轴、y轴相切，过原点时参数的条件;通过改变两个条件来考查与两条直线相切的参数的条件要求，由此完成了对基本知识、基本技能和基本经验的考查. 特别地，变题的求解过程达到对学生数学运算素养、逻辑推理素养考查的目的，变题方法的每次选择就是对数学建模素养的培养.

变题4：求过点A（4，3），B（5，2），被x轴截得的弦长为4的圆D的标准方程.

生：设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），则（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，r2=4+b2，……

变题5：求以点A（4，3），B（5，2）为直径端点的圆D的方程.

生：根据AB中点为圆心，AB长度是直径求出基本量圆心和半径.

生：根据直径圆的方程直接得到（x-4）（x-5）+（y-3）（y-2）=0.

师：变题4、5如果是动态的问题，怎样研究呢？

生：如果是动态问题，就是相当于引入参数，求出来的是动圆（含有参数）方程.

问题5：在横线上写一个适当的静态条件，编制一个新的题目：已知圆D经过两点A（4，3），B（5，2），且_____，求圆D的方程.？摇

师：同学们可以相互讨论交流，然后发表你的见解.

生：可以加一个条件为：和一个定直线相交、相切、相离的条件，求出来的方程是一个定圆的方程，比如说与直线l：x+y+1=0所截得的弦长为2.

师：很好，相当于加一个和直线相关的静态的数的条件或静态的形的条件.

生：也可以加一个条件为：和一个动直线相交、相切、相离的条件，求出来的方程是一个动圆的方程，比如说与直线l：x+y+m=0（m为常数）相切.

师：很好，相当于加一个和直线相关的动态的数的条件或动态的形的条件.

生：可以加一个条件为：和一个圆外离、外切、相交、内切、内含的静态条件，求出来的方程是一个定圆的方程.

生：可以加一个条件为：和一个圆外离、外切、相交、内切、内含的动态条件，求出来的方程是一个动圆的方程.

师：同学们的想法很好，又想到了和圆的位置关系问题啦！还有吗？

生：可以加的条件为：涉及圆的任何一个形的条件或任何一个数的条件.

师：数学本身就是研究数和形的学科，本题中我们添加的条件可以是涉及圆的形的条件，也可以是涉及圆的数的条件，同学们的理解非常好.

问题6：已知圆D满足_____、_____、_____，求圆D的方程.

生：就是把上面的条件选择三个互相独立的就可以了.

设计说明：设计开放性的问题让学生相互讨论交流，在这样的活动过程中.求圆的方程的知识得到了加工、消化、吸收，并在此基础上进行内化、转化、升华，最终形成学生的核心素养，同时也关注到了学生创新精神、合作意识和实践能力.

例題精讲

例1：设圆满足条件：（1）截y轴所得的弦长为2;（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1;（3）圆心到直线l：x-2y=0的距离为■，求这个圆的方程.

例2：（2008江苏卷18题改编）设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（b≠0）的图像与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆的一般方程.

几点反思

本节课是一节高三复习课，从四基和核心素养的角度看，对四基的强化非常有效，提升了学生的能力，培育了学生的核心素养. 课堂的教学中，我们可以做好以下两点来落实四基和培育核心素养.

1. 四基导向的课堂教学应对策略

四基中的四个部分不是孤立的，而是同存在于同一个数学活动中，彼此之间相互联系、相互制约，但又有不同，基本知识和基本技能是显性的，而基本思想和基本活动经验是隐性的. 基本知识和基本技能是落实基本思想和基本活动经验的载体，基本思想和基本活动经验是在更高层次上的抽象.课堂的教学中，关注四基的落实需要做好以下几点，首先，教学目标的制定应准确把握四基的要求，基本知识和基本技能的教学应关注知识之间的联系和操作的程序和步骤，基本思想和基本活动经验的教学应在教学活动中理解、感悟、思考;其次，精心设计教学活动，让学生经历知识的形成过程，因为学生理解掌握基本知识和基本技能，感悟数学思想，积累数学活动经验都不是一蹴而就的，都要经历数学活动的过程，所以可以设计一些具有开放性、思考性和联系性的问题.

2. 数学核心素养导向的课堂教学应对策略

数学核心素养落实的主阵地在数学课堂，基本渠道是数学活动的过程，是数学学习、数学应用的过程，是不断发现问题、分析问题和解决问题的过程.课堂教学中，我们要设计合适的情境让学生感悟、理解，让学生在情境的基础上获得感受，揭示具体事例的数学本质，学会用数学眼光观察、发现问题，用数学的思维分析问题，用数学语言描述、表达问题;课堂教学中，我们要在数学抽象过程中学习数学概念、法则、命题和数学建模的基本方法，指导学生经历上述知识和方法的学习过程，落实数学抽象素养;课堂教学中，我们要在探究的过程中，运用逻辑推理培养学生发现和提出问题的能力，锤炼论证和表述的方法，还要重视命题的猜想过程，兼顾合情推理和演绎推理，全面落实直观想象和逻辑推理素养.