落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色

王艳 吴文辉

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》对文化在数学课程中的融入提出了明确的要求，在数学教学上，怎样渗透传统文化知识，实现文化与数学的融合，提升学生的数学能力和人文素养，进而提升数学核心素养. 这是值得我们数学教师重视的一个新问题.通过精心设计的数学导入、贴近现实的新知探究、丰富多彩的课外活动、合理巧编的数学问题正是解决问题的有效探索.

[关键词] 数学教学;传统文化;人文素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在知识结构图中指出：要把数学文化融入课程内容.数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动. 以下侧重谈谈在数学教学中，如何使传统文化、数学史、人类生活与数学相结合.

传统文化是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表现. 中国的传统文化有道家、墨家、法家、名家，包括：古文、诗、词、曲、赋、民乐、戏曲、国画、书法、灯谜、酒令等.表面看，数学与传统文化是完全不同的两类学科：数学重理性，具抽象性;传统文化重感性，具形象性. 数学讲究归纳与推理，严谨;传统文化讲究灵感与想象，浪漫. 数学以逻辑思维方法为主，求真;传统文化以形象思维方法为主，求美.

然而，就是对这两个存在明显差异的学科，中科院院士张景中教授却说：“数学是人做出来的，数学的思考过程必然打上人文的烙印. 数学意境和人文意境之间，是彼此互相相通借鉴的.”他之所以这样说，是因为数学与传统文化之间有着共性和交融. 数学与传统文化的重要共性之一，就是对美的追求.春秋战国时期孔子教育学生讲究六艺：礼、乐、射、御、书、数，这其中也强调文化与数学的融合.

在数学教学上，怎样渗透传统文化知识，实现文化与数学的融合，提升学生的数学能力和人文素养，进而提升数学核心素养. 这是值得我们数学教师重视的一个新问题.

在数学导入时传承国学文化，情真意切话数学

在课堂导入环节，创设合理的问题情境，促进学生思考，是上一轮新课改教学同行达成的共识之一. 在“圆锥曲线的统一定义”的新课教学时，笔者以《三国演义》的第一回引入：“话说天下大势，分久必合，合久必分.” 这里隐藏了椭圆、双曲线它们两者之间分开研究各自的定义，合在一起可以通过圆锥曲线的统一定义来刻画. 这样的引入方式一方面符合了教材的设计，将椭圆、双曲线的第二定义安排在学习抛物线之后集中处理，是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的一种设计;另一方面激发了学生学习数学的兴趣，体现了数学与传统文化知识的联系.

徐利治先生在一次演讲中说：“我每次讲极限，总要引用李白的诗‘孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.”学生课堂开始即在感官中体验到“孤帆远影碧空尽”的動态过程，沉醉在文化数学相融的唯美意境中. 杜甫《登高》诗中的两句“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”，不但是作者的一种心境抒发，同时也是数学上的“实无限”“潜无限”的有机结合.

将唐诗宋词和数学知识相结合，实现数学意境和人文意境的彼此相通和借鉴. 这里既有数学的科学内涵，又有丰富的人文素养，不但可以让学生更好地理解和亲近数学，而且学生会从中体会无限之美、数学之美.

在新知探究中渗透数学文化，拓展学生的思维

新的数学课程标准要求处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，提倡学生将自主学习和合作交流相结合以实现个人发展. 具体可以通过下面的几点来实施：

1. 用贴近现实、生动有趣的问题吸引学生参与

“思维总是从提出问题开始的.”课堂提问是启发学生积极思维的重要手段，教师要善于运用富有吸引力的提问激发学生的兴趣.

案例1：支付宝与“蚂蚁森林”.

在“等比数列的前n项和”第二节课导入，用学生熟悉的支付宝的公益活动“蚂蚁森林”作为切入点，让学生独立探究水土流失和退耕还林的关系，通过教师提供的数据，逐步引导学生在互动操作中建立数列模型以解决问题.

例如，世界环境日时联合国环境规划署（UNEP）在其官方社交媒体账号上公布了2019年世界环境日实践案例，其中，支付宝“蚂蚁森林”入选. 近日，新闻联播播放了一段“蚂蚁森林”关于库布齐沙漠生态治理的介绍.库布齐沙漠森林覆盖率、植被覆盖率已分别由2002年的0.8%、16.2%，大幅提升到2016年的15.7%、53%. 设从2002年起到2016年每年沙漠森林面积递增a%，求a的值. 以2019年6月，全球参与“蚂蚁森林”的人数已经达到5亿来计算，若每年用户增长率为5.8%，则到2025年用户约有多少？

用学生身边的事情来设计问题，将数学与当前的热点相结合，不仅能提升学生的参与兴趣，而且在掌握数学知识的同时感知社会责任、提升人文素养.

案例2：三角中的测量问题.

如图1，有一条河MN，河岸的一侧有一很高的建筑物AB，一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器（可以测仰角），一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5 m），请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB及PA的距离公式，希望在你的方案中被测数据的个数尽量少.

本题有一定的不确定性，是一道开放题，题目给出问题的情境及基本要求，要求根据这些情况及基本要求收集信息;将问题数学化，自行假定与设计一些已知条件，提出多样的解决方案，进而优化结论，培养学生运用所学知识分析、解决问题的能力，培养学生创新能力的核心——发散思维.

2. 用数学实验来激发学生的学习动力和热情

比如在学习有关不等式的证明过程中，可以请同学们自带一些糖，因为学生都会自带水杯，所以课堂上，笔者让学生自己动手实验得出糖水不等式的结论，这样既简单可行，又注重效果.这与2019年江苏高考语文作文也不谋而合——根据以下材料，选取角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章：“物各有性，水至淡，盐得味. 水加水还是水，盐加盐还是盐. 酸甜苦辣咸，五味调和，共存相生，百味纷呈.物如此，事犹是，人亦然.”又比如在排列组合教学时，可以给3～5分钟介绍单循环、主客场比赛，并由学生来制订分组方案，学生成为学习的主体，身临其境，在活动中推究新知、理解数学、发现规律，从而培养学生的实践能力.

在课外活动中，让学生在多彩的数学文化中熏陶

1. 丰富课外作业的形式

学生因其所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，他们考虑问题、解决问题的方式与方法有着强烈的个性色彩. 根据内容特点，有时可布置一些有别于解题的课外思考题. 例如，在“等比数列的前n项和”第二节课后设置一道思考题，结合等比数列求和的操作模型来研究2020年西部地区是否能基本解决退耕还林的问题，如果不行，你可有哪些改进的措施（变化数据、模型等）.然后，布置课后实践性作业：如果要在所居住的城市买房，需要贷款，可以采用公积金贷款、商业贷款、混合贷款等，学生任选一家银行，利用周末时间，实践完成具体贷款方案. 有时周末作业，笔者则指导学生在课余撰写数学小论文，汇总与本周学习内容相关的诗歌等，这是渗透数学文化，拓宽数学视野，营造数学氛围的好方法，受到学生的欢迎. 预习作业也要改变形式，比如在教学立体几何前，先让学生自己动手制作正方体、三棱锥等模型，使学生经历简单几何模型的形成过程，让几何直观助力学生理解立体图形.

上述环节，笔者并没有生搬硬套地将知识以结论的形式灌输给学生，而是带领学生经历了知识的产生、形成过程，弄清它的来龙去脉，从中发展了创新意识和实践能力，获得了积极的数学情感体验.

2. 重视“阅读与思考”，书中自有黄金屋

新版高中数学课本在每章都设置了“阅读与思考”，其矩阵中的“河图洛书”“九章算术之推物求价”，数学归纳法中的“小孩子的发现”，永乐大典的“杨辉三角”，算法案例中的“韩信点兵”，等等，富有中国传统文化特色的数学知识，让我们惊叹古人之过人智慧，文化之博大精深;还有函数中的“对数的发明”，三角中的“振幅、周期、频率、相位”，让我们感到数学的发展历史和前人的奋斗经历，使我们深深地感受到，传统文化不仅仅存在于语文课堂中、阅读课中，它同样也可以表现在数学教学中.

对这些“特殊”的教学内容，笔者进行了深入分析，并以“二进制、计算机”为例. 二进制记数法的思想源远流长，我国古代很早就有了相关研究，在《易经》上就讲到两仪，即一黑一白阴阳互补的两条鱼. 以后，在两仪之上形成了八卦. 《易经》中关于两仪及演变的叙述实际上就可以看成是二进制应用的萌芽. 德国数学家莱布尼茨1679年撰写的《二进制算术》，使他成为二进位数制的发明人. 莱布尼茨后来发现他的二进制可以给中国古老的六十四卦易图一个很好的数学解释，他是通过他的朋友、法国传教士白晋（F.J. Bouvet）得到六十四卦易图的，莱布尼茨高兴地说：“可以让我加入中国籍了吧！”由此可见，中国的很多国学知识中不单蕴藏着丰富的数学知识，包括祖暅原理等知识均起源在世界的前列.

数学史料，贯穿古今、涵盖中外，笔者在教学中结合学生的心理特点、思维特点及数学史料自身的特点，渗透数学史教育，引导学生进行数学阅读材料的精读，教师做必要的点评，定能使学生加深对“对数、三角函数、二项式定理等”相关内容的理解. 重视高中课本中的“阅读材料”，勤于思考，不但拓宽了学生的知识面，增强了学生对中国古代文化、对国家的认同感;同时还为学生沉淀了文化底蕴，增强了人文素养.

借助巧编数学问题，让学生受益于传统经典文化的再传承

习题是数学课中一个不可回避的重要内容，以例题习题蕴涵人文思想的教育因素，可以让学生在学习数学知识的同时，潜移默化地感受到人文精神的熏陶.

近年来，高考数学试题也开始不断渗透国学文化，教育部考试中心命题专家评价2019年高考试题时提到：“试卷设置的情境真实、贴近生活，具有深厚的文化底蕴，体现了数学原理和方法在解决问题中的价值和作用.”如2019年高考数学理科Ⅰ卷第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想;2019年高考数学文科、理科Ⅱ卷第16题融入了中国悠久的金石文化，赋予了几何体真实背景. 以国学文化为试题背景，可以培养学生学习数学的兴趣，弘扬中国优秀传统文化，并在潜移默化中激发学生的爱国主义情感.

平常教学也需要我们教师通过改编数学问题，让学生受益于文化的熏陶. 比如“田忌赛马”这个故事，出自西汉司马迁《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》. 忌数与齐诸公子驰逐重射. 孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈. 于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜.” 田忌信然之，与王及诸公子逐射千金. 及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷.”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金.

这个故事中蕴涵运筹学中的最优化思想. 现可以改编为以下题目：设齐王的3匹马分别为A，B，C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜.

（1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率;

（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，田忌应怎样安排马的出場顺序，才能使获胜的概率最大？

本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解，也可以与几何概型链接.

问题变式：田忌和齐王约定下午一点到两点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王之前到但等候时间不超过一刻钟的概率.

结束语

“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”. 孤鹜是在“飞”的，云霞是在“落”的，文化的沉淀积累和数学能力的提升形成一幅流动着的美丽图画. 高中数学教学是以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值. 在数学教学中渗透传统文化知识，体现国学的魅力，有效培养孩子的数学思维能力，让传统文化进一步传承下来，数学与传统文化的深度融合之时正是“秋水共长天一色”之刻，在天空和水面这两个本来并不相交的平面经过持续的变形相交了，这不但能使人感到整个画面具有三维立体空间的真实感. 不仅如此，“秋水共长天一色”把人们的视线引到水天相接之处.有远有高有深，文理兼容，境界开阔，美不胜收.