不可压理想流体在有角点区域边界上的速度估计

李雪淼，邓大文

(湘潭大学数学与计算科学学院， 湖南 湘潭411105)

0 引言

考虑有界区域D⊂R2上的Euler方程组

(1)

本研究在有角对称区域上考虑(1)式，得到一个全局光滑解的不存在性结果，与弱解涡量“梯度” (Lipschitz 差商) 的增长估计. 关键是通过优化Kiselev和Zlatoš[1]的方法，我们得到一个角点附近边界上流体的下界估计. 详细地，对反对称涡量，角点处内角越大，下界估计越大. 在文献[1] 中，作者讨论了一个有尖点的双球场区域，它的一半是光滑的，证明了边界上流体微团速度的一个正的下界. 采用的方法是在格林函数下面垫一个正的调和函数，用Hopf引理估计Biot-Savart核及速度，证明在该有尖点区域上存在有限时间内失去正则性的局部正则解. 笔者在有角点区域的一半上进行研究，因为半区域上有角且不光滑，只能在边界光滑部分的一个紧集上得到速度的正下界，若扩大紧集使之接近角点，该下界可趋于0，以致不能得到整个边界上有意义的流体速度下界. 为了应对这一问题，在被等分角附近，在格林函数下垫一个有明确公式的调和函数，得到角点附近边界上流体速度的下界估计.本文中得到2个定理，在定理1中，当角点处的内角大时，得到较大的下界估计，使得边界上的流体微团在有限时间到达角点. 在定理2中，则恰恰相反. Lacave和Zlatoš[2]也得到了速度估计.

D上格林函数的公式是

其中T:D→U是D到单位圆盘U上的共形映照 (因为∂D分片光滑，T可连续地拓展到∂D上)，z*=z|z|-2是z∈U的反演点. 他们用公式作估计得到结论. 本文中另一种方法是Kiselev和Zlatoš[1]的方法的优化，只用到格林函数的性质，即它在区域内是正的，在区域边界消失，在奇点外调和，且只涉及调和函数的基本理论与分离变量法，较为初等. 这估计有两个结果. 在第一节，我们在内角较大的区域上证明一个全局光滑解的不存在性定理. 在第二节，证明在内角较小的多边形区域上弱解的涡量“梯度”(Lipschitz 差商) 可以达到某些增长率.

1 内角较大的区域上的一个全局光滑解不存在性定理

对于光滑区域D，光滑的初值保证了全局光滑解的唯一存在性，可参看文献 [3]. 对于不正则的区域，情况变得复杂. 文献 [1] 中证明了，在一个有尖点区域，尖点处的内角角度为2π，有光滑的初始涡量使得没有全局光滑解以它为初值，ω在有限时间失去连续性. 本文中第一个定理旨在将此结果扩展到有角点且内角角度大于π的区域上.

图1 定理1中内角α∈(π,2π)的对称区域

图2 水平放置的D+

图3 扇形域

图4 定理2中内角α∈(0,π]的对称多边形域

注定理不依赖于弱解或光滑解的存在性. 使用反证法，假定某些光滑初始涡量引发出一个全局光滑解，得到矛盾. 非角点处的C2条件只是用来保证内球条件成立，与解的存在性无关. 若进一步假定D+:=D∩{x1>0}与它关于x2-轴的镜像D-是凸的(或是多边形区域，在下文中详细定义)，则D+和D-上存在全局弱解[4-5]，连同初始涡量的反对称性，它们可黏合为D上的全局弱解. 则从定理1可知弱解一定不是全局光滑的，至于它是在t>0的任何时候都不光滑，还是在某[0,T0]上光滑且在T0处爆破,本研究未考虑.

根据ω(·,t)关于x2-轴的反对称性，流函数和Biot-Savart Law可写成如下形式：

(2)

第一步：在包含x0的∂D+l的一个紧集上运用文献[1] 中的推理，可知∂Dl上大部分流体都以不小于某正数的速度流向p. 为了便于阅读和思考，以下把推理写出. 令δ>0且满足

|{x∈D+:ω0(x)>δ}|≥[2δP+(α/4)(3δ)2]+δ

(3)

(4)

所以在Γ上，|KD+(x,y)|大于某ε>0.

(5)

所以，从x0出发的微团在有限时间抵达Γ的一个端点，它与p的距离是δ.

因为在角点处没有法方向，且内球条件不成立，故以上推理不能应用在∂D+上. 又∂D+(l∩∂D)不是紧的，也不能用在∂D+(l∩∂D)上，它的非紧性不能保证一个正的ε的存在性.

(6)

(7)

(8)

因此，

(9)

其中C为常数 (不同地方可指不同常数). 因为对y∈D+，KD+(z1,0;y)沿z1-轴指向左边，以及在D+上ω(·,t)≥0，所以由(2)、(8)、(9)式可得

(10)

z1′(t)=u1(z(t),t)≤-Cδ2-βz1(t)β-1

(11)

从而，

2 内角较小的区域上的涡量梯度的增长

本文中第二个结论是关于(1)式在对称多边形区域(后面将详细定义)上弱解的涡量“梯度”的增长， 在有界光滑平面域上，(1)式的经典解的涡量梯度最多可达到双指数增长[6-8],能否达到此上界曾是个开放问题，2014年Kiselev和verák[9]证明了在圆盘上涡量梯度可达到双指数增长. Xu[10]将这一结果推广到光滑对称区域上. Zlatoš[11]证明了圆盘上涡量梯度可达到的双指数增长的地方远比文献[9]中证明的大，但这一现象能否在区域中大范围出现仍是个开放问题. Denisov在任意有限的时间里构造了超线性增长[12]和双指数增长[13]的实例. 此外，Zlatoš[14]在环面上证明了涡量梯度可达到单指数增长. 对于具有非光滑边界的区域，Itoh、Miura和Yoneda[15]在方形上使用格林函数的显式公式证明了在角点处沿边界的涡量“梯度”(Lipschitz差商) 最多只可以达到指数增长. 对于可达到的增长率的结果较少.沿用文献 [5] 中的定义，称D是多边形区域，若它是有界单连通开集，∂D分片C1,1，其上有有限个切向量的不连续点pj，j=1,…,N，且pj的某个领域是以pj为顶点，αj∈(0,2π)为内角的扇形. 特别地，在pj旁，∂D是直线段. 称(ω,u)是(1)式的弱解，若它们满足Biot-Savart公式及在弱的意义下满足(1)1式，在不同的条件下，有略为不同的陈述形式与正则性. 本研究引用文献 [5] 中的定义和结果. 对给定的ω0∈L∞(D)，以它为初值的弱解是一对函数(ω,u)，ω∈C([0,T],w*-L∞(D×[0,T]))，u满足Biot-Savart公式，且使得对所有

文献 [14] 中证明了若D是αj≤π/2的多边形区域，ω0∈L∞(D)，则对每个T>0，在 [0,T] 上有唯一弱解(ω,u)，且u是空间log-Lipschitz的：

这意味着可定义质点轨迹X(t,x)[16].X对x的连续依赖性仍成立，类似于X相对于x是Lipschitz时的情形. 因此，若ω0连续，则ω(x,t)=ω0(X(-t,x))也是连续的.

若D是对称多边形区域，且它的两个镜像对称的半区域也是多边形区域；若ω0是反对称的，则可拼接两个半区域上的弱解得到D上以ω0为初值的弱解.ω0的反对称性可保证拼接得来的函数满足Biot-Savart公式.

(12)

其中C为常数.

注不排除(12)式中的Lipschitz差商是无穷大的可能，但这并不影响此定理的正确性. 要求D+和D-都是多边形区域 (已假定D是多边形区域) 就是要求∂D与x2-轴不是p的那个交点旁的∂D是两条直线段. 当α较大时，涡量“梯度”可以达到一个较高的的多项式增长率. 若D是方形 (如文献[15]中)，能达到的增长率t1/2与文献 [15] 中的增长率上界结果互补.

有一些关于非光滑区域上Euler方程的讨论[2,4-5,17-21],主要是关于弱解的存在唯一性，是Yudovich[22]在光滑区域、有界初始涡量情况下的结果的推广. 特别地，对有角点的区域，内角的大小对结果有影响[2,5,17,20-21,23].

|{x∈D+:ω0(x)>δ}|≥[(α/4)(Lδ+δ)2+2δP]+δ

(13)