周期函数的周期与定义域

董恩荣　曾涛

摘要：在函数的几大特性中，周期性应用比较广泛，但在周期函数的应用中，往往忽略周期函数的定义域，总是不自觉的扩大化使用“周期函数定义域无界和周期T有无穷多个”这一结论，而忽视了周期函数定义域的“上界和下界”与周期T之间的关系，本文就周期函数的周期和它的定义域之间的关系进行探讨，希望对读者有所帮助和借鉴。

关键词：周期；周期函数；上界；下界

我们仅就大部分教材中常见的周期函数的定义进行讨论。

定义对于函数y=f（x），如果存在一个非零的常数常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。

对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个周期函数f（x）的最小正周期。

我们知道，周期函数的周期有无穷多个；周期函数的定义域无界。但有很多学生往往都是这样理解的：如果周期函数f（x）有一个周期

T，则kT，k∈Z，k≠0也是f（x）的周期。他们往往忽略了函数的定义域D。

例如，正弦函数y=sinx，x∈R对于任何一个常数2kπ，k∈Z，k≠0

都是这个函数的周期。最小正周期为2π。

对于任意一个周期函数，是否也有类似的结论？如此我们有必要进行讨论。

首先，我们有结论：

设周期函数f（x）的定义域D，T是f（x）的一个周期，则kT（k∈N+）是f（x）的周期。

证明：设f（x）的周期T，定义域为D，由周期函数的定义：

对x∈D，有f（x）=f（x+T），于是x+T∈D；

f（x）=f（x+T）=f（（x+T）+T）=f（x+2T），2T是f（x）的一个周期，且x+2T∈D；

f（x）=f（x+2T）=f（（x+2T）+T）=f（x+3T），3T是f（x）的一个周期，且x+3T∈D；

……

对x∈D，有f（x）=f（x+kT），k∈N+，即kT也是f（x）的周期。

对于周期函数的定义域和它的周期，我们有如下的结论。

1. 周期函数f（x）的定义域D有下界（m∈R，对x∈D，都有x≥m，则x≥m），则f（x）的周期T>0，且kT，k∈N+也是f（x）的周期，此时，定义域无上界（M∈R，对x∈D，都有x≤M）。

下面，我们分别进行讨论：（以下“[]”表示取整函数）

（1）周期函数f（x）的定义域D有下界，则f（x）周期T>0，我们采用反证法：

设周期函数f（x）的定义域为D，D有下界m，若函数f（x）存在周期T<0，令x0∈D，有

x0≥m，且f（x0+kT）=f（x0），k∈N+；

令k=m-x0T+1，则k>m-x0T，于是kT

所以，x0+kT

所以，T一定大于0。

（2）周期函数f（x）的定义域D有下界，则D无上界

由（1）设f（x）的周期T>0，则kT，k∈N+是f（x）的周期，

对x∈D，令k=|x|T+1，则x0=x+kT≥x+|x|≥0，且f（x0）=f（x+kT）=f（x），即存在x0∈D，且x0≥0。

设x0∈D，且x0≥0，对M>0，令k=MT，由MT+1>MT

得x1=x0+kT>x0+MT×T=x0+M≥M且f（x1）=f（x0+kT）=f（x0），于是x1∈D。

即对M>0，都x1∈D，且x1>M，所以，f（x）的定义域D无上界。

事实上，这样的周期函数是存在的，例如f（x）=sin（x）2是周期函數，它的定义域是[0，+∞）周期是2kπ，k∈N+。

再如，数列{an}：1，-1，1，-1，1，-1，……，（-1）n+1，……

f（n）=（-1）n+1，n∈N+，2k（k∈N+）都是函数f（n）的周期。

同理：

2. 周期函数f（x）的定义域D有上界，则f（x）的周期T<0，且kT，k∈N+也是f（x）的周期，此时定义域无下界。

3. 周期函数f（x）的定义域D既无上界也无下界，T是f（x）的一个周期，则kT，k∈Z，k≠0也是f（x）的周期。

设周期函数f（x）的定义域D既无上界也无下界，T是f（x）的一个周期，由周期函数的定义，对x∈D，f（x+T）=f（x）与f（x-T）=f（x）是等价的。

即在定义域D上下均无界的条件下，f（x）的值每隔T函数值相等与f（x）每隔-T函数值相等是等价的（区别仅仅是自变量在定义域内的取值由左到右还是由右到左而已）。于是：

若周期函数f（x）的定义域D既无上界也无下界，T是f（x）的一个周期，则-T也是f（x）的一个周期。

反之，如果周期函数f（x）存在周期T>0，则f（x）的定义域D无上界；如果周期函数f（x）存在周期T<0，则f（x）的定义域D无下界；如果周期函数f（x）存在周期T1>0，也存在周期T2<0，则f（x）的定义域D无上、下界。

综上所述，周期函数的周期可能只是正数，可能只是负数，也可能是正负数互存，它们受函数的定义域制约，所以在讨论周期函数时，定义域是一个不可忽略的条件。

参考文献：

[1]姚绍义.大学数学上册.1版.北京.人民教育出版社.2002：18.

[2]王天辉，王玉清.高等数学.1版.天津.南开大学出版社.2011：7-8.

[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.2版.北京.人民教育出版社编.1981：20-22.