巧解抽象函数

符欣悦

摘 要：由于抽象函数解析式的抽象性，很强的综合性，灵活性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文通过几个例题来探讨抽象函数的解题技巧和方法。

关键词：抽象函数;奇偶性;周期性

抽象函数，即没有给出函数的解析式，只给出函数满足的某些性质或某些运算法则的这类函数。在教学中我发现近几年的高考题都会看到对抽象函数的考察，而学生对于解抽象函数综合题型比较困难，所以本文特探究一下此类问题。

题型1：求函数值

例1：已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（3）=7，求f（2013）的值

解析：由条件知f（x）≠1，故，

故函数f（x）的周期为8，f（2013）=f（5）=f（-3）=f（3）=7

题型2.求函数解析式

例2.已知f（x）是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈[-2，0]时，函数f（x）的解析式为（）

A.|x-2| B.|x+4| C.2+|x+1| D.3-|x+1|

解析：当时，

∴;

当时，

∴.故选D。

题型3.判断函数的奇偶性

例3：已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（3+x）=f（3-x），f（x+3）=。试判断函数f（x）的奇偶性。

解析：由f（3+x）=f（3-x）知f（x）关于x=3对称，即f（-x）=f（6+x），由f（x+3）=，可知函数f（x）的周期为6，即f（x+6）=f（x）;故f（x）=f（-x）∴f（x）是偶函数

题型4.判断函数的单调性

例4：已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），且当x∈[-2，0]时，f（x）是减函数，求证当x∈[4，6]时f（x）为增函数

解析：设则

∵f（x）在[-2，0]上是减函数∴

又函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），可知函数f（x）的周期为4

∴∵f（-x）=f（x）∴

故當x∈[4，6]时f（x）为增函数

题型5;确定方程根的个数

例5：奇函数f（x）定义在R上，且对常数T>0，恒有f（x+T）=f（x），则在区间[0，2T]上，方程f（x）=0根的个数最小值为（）

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

解析：∵f（0）=0故其中一个解为x1=0，又f（2T）=f（T）=f（0）=0

∴可得另两解为x2=2T，x3=T.

又因为令x=0得

，∴=f（0）=0

∴可得另两解为，既至少有5个解，本题选C。

解抽象函数问题应抓住函数满足的某些性质，通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹，使得问题迎刃而解。

参考文献

[1]刘邦，抽象函数解救方法[J];宿州教育学院学报;2006年01期

[2]秦晔，抽象函数问题的常用解题方法[J];科技信息;2010年21期