论函数的奇偶性

王庆举

函数的奇偶性是高中数学中常考、必考的知识点，又经常和其他知识点结合在一起考查，下面我们探讨函数奇偶性的判定及一些性质和应用。

一、奇偶性的概念

1.函数的奇偶性的定义

（1）-般的，如果对于函数r=f（x）的定义域内的任意一个x值，都有f（-x）=f（x），就称f（x）是偶函数；

（2）-般的，如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意一个x值，都有f（-x）=-f（x），就乖（x）是奇函数；

2.函数的奇偶性的判定步骤

（1）判定函数y=f（x）的定义域是否关于原点对称；

（2）如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意一个x值，都有f（-x）=f（x）或者（-x）=fx），就f（x）是偶函数或者是奇函数；

二、奇偶性的判定

（1）当一个函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶；

（2）当一个函数的定义域关于原点对称，如果f（-x）=f（x），就称f（x）是偶函数；

（3）当一个函数的定义域关于原点对称，如果f（-x）=-f（x），就称f（x）是奇函数；

（4）当一个函数的定义域关于原点对称，如果f（-x）=？f（x），就称f（x）即奇又偶。

例1：判定下列函数的奇偶性

（4）已知函数f（x）满足对任意实数x，y都有厂（x+y）=f（x）+f（y），则求f（x）的奇偶性

解：（1）函数的定义域为{11不关于原点对称，则函数是非奇非偶；

（2）1-x≥0且lx+2 1-2≥0，解得x？[-1，0）U（0，1]定义域关于原点对称，

（3）1-x2≥0且x-l≥O，解得x∈{-1，1}定义域关于原点对f（x）即奇又偶；

（4）令x=y=0，则厂（0）=0，令y=-x.厂（0）可（x）+f（-x），f（x）=o，f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数。

三、利用函数的奇偶性求函数的解析式

例2：已知（x）是偶函数，g（x）是奇函数，它们的定义域均为，则求f（x），g（x）的解析式。

四、利用函数的奇偶性求证

五、利用函数的奇偶性求代数式的值

例4：已知（x+3y）3+x3+2x+3y=0，求2x+3y的值

解：由已知得（x+3y）3+x+3y=-（x3+x），设f（x）=X3+x，显然f（x）是奇函数且为增函数，则f（x+3y）=f（x）=f（-x），所以x+3y=-_x，则2x+3y=0。

函数的奇偶性通过研究函数的图象特点，从而进一步研究函数的其他的性质，以上的几个知识点可以提高学生在代数方面的推理认证能力，通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，让学生体会数学在生活中的美，引导学生探讨、研究数学，激发学生的学习热情。