重视结构不良新题型 培养数学思维灵活性

摘  要：結构不良型试题是2020年高考数学全国新高考试卷中出现的新题型. 对一道结构不良型试题进行分析与反思，提出针对高考复习的合理建议.

关键词：结构不良;数学思维;新高考;高中数学

2020年山东省高考数学是第一次以不分文、理科的形式出现，试卷坚持对数学学科基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求，作为第一年文理合卷，贯彻了“低起点，多层次，高落差”的调控策略，发挥了高考数学的选拔功能和良好的导向作用. 笔者就全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第17题进行分析，谈谈自己的体会与反思.

一、试题分析

题目  在①[ac=3]，②[csinA=][3]，③[c=3b]这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求[c]的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在[△ABC]，它的内角[A，B，C]的对边分别为[a，？？b，c]，且[sinA=3sinB]，[C=π6]，    ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

命题立意分析：该题为解答题，分值[10]分，命题立足于正弦定理和余弦定理等必备知识，考查学生的数学理解能力和数学探究能力. 此题在题型上进行了调整，设计了开放性的结构不良型的新考试题型. 它的引入既能增强试题条件的开放性，又能引导学生更加注重思维的灵活性及策略的选择，体现了对学生理性思维、数学探究能力等的考查.

该题设计了三个开放性的可选择条件，并且问题的结论同样是开放的. 学生容易初步确定问题解决方案，题目中所给的条件涉及正弦函数值，要考虑正弦定理，将角的关系转化为边的关系，代入余弦定理表达式中，得到边的关系[b=c]，再结合所选条件进行求解. 选条件①，将所得到的边的关系进行联立，解方程，就可以确定各边长;选条件②，根据边的关系，确定[∠A=2π3]，求出[sinA]，进而确定各边长;选条件③，求出三边或者三角，与条件矛盾，得出结论.

解：由[C=π6]和余弦定理，得[a2+b2-c22ab=32].

由[sinA=3sinB]及正弦定理，得[a=3b].

所以[3b2+b2-c223b2=32]. 所以[b=c].

选条件①时，

由[ac=3]，得[a=3，b=c=1.]

因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时[c=1.]

选条件②时，

由[b=c]，得[B=C=π6]，[A=2π3].

由[csinA=3]，得[c=b=23，a=6.]

因此，选条件②时，问题中的三角形存在，此时[c=23.]

选条件③时，

因为[c=3b]与[b=c]矛盾.

所以，选条件③时，问题中的三角形不存在.

由以上分析可以看出解答该题有三个关键点：由已知条件[sinA=3sinB及正弦定理，得a=3b];由选择的方案结合正余弦定理得到一个正确结论;继续求出[c]值或者分析出矛盾.

二、学生答题情况

考后对班级学生进行调研，从学生的反馈来看，55%的学生思路清晰，能够由[sinA=][3sinB]及正弦定理得出[a=3b]，选择正弦定理或者余弦定理来解决问题，求出三边或者三角，根据“两边之和大于第三边”“三角形内角和等于[180°]”“大边对大角，大角对大边”判断是否存在矛盾;或者求出边、角后研究与已知条件是否存在矛盾，从而判断问题中的三角形是否存在. 综观学生反馈的答题情况，除了因为不重视规范性答题造成失分以外，笔者认为主要的失误有以下三个方面.

其一，没有掌握正弦定理和余弦定理，不会根据条件恰当选择正弦定理或余弦定理，实现边角互化，达到解三角形的目的.

其二，记错、记混特殊角的三角函数值，导致“会而不对”.

其三，逻辑思维不完整，不知道从哪些角度判断三角形的存在性，导致“对而不全”.

三、教学启示

2019年12月，教育部考试中心正式发布了“一核”“四层”“四翼”的高考评价体系，在数学学科核心素养的基础上提出了理性思维、数学应用、数学探究和数学文化. 2020年高考是山东、海南实行综合改革后的第一年高考，数学不分文理科，2021年又将有八个省实行高考综合改革，使用新高考试卷. 该题的考查很好地诠释了试题注重基础性，通过开放性的题目设置，增强了学生的选择决策能力和数学探究能力，突出了理性思维、数学应用、数学探究的引领作用，坚持了素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向，落实了立德树人的根本目标. 根据该题的分析及学生的调研反馈，笔者提出两点建议.

1. 应对新题型的建议

（1）教师要建立对结构不良新题型的认知.

综观数学教学现状，在教学中涉及的问题大多是结构良好的. 这些问题条件清晰、目标明确，运用特定的数学模型就能解决. 在教学中，教师运用大量结构良好的题型进行题海战术，注重总结问题的规律. 对定理和概念进行熟练应用，掌握解题的一般模式，学生就可以取得不错的成绩. 但是实际生活中的问题比较复杂、情境化强，往往条件不清晰，目标比较模糊，结构不够明朗，解决问题的途径多样，问题的答案不唯一，这其实就是我们所说的结构不良型问题. 教师应该重视结构不良型问题在教学中的应用，将学生从被动的信息加工者变成主动的问题提出者和解决者.

（2）提高学生解决结构不良新题型能力的教学策略.

教师应该在教学中多设计结构不良型问题. 笔者认为应该主要从以下三个方面来设计. 一是结合真实的问题情境，以项目问题的形式，引导学生成为探索者、研究者、学习者，这种项目化教学可以激发学生的学习热情，使学生在解决真实问题的过程中学会与他人合作、交流，涉及的知识也不局限于数学学科知识，促进知识迁移和学科融合，培养学生的创新素质和实践能力，真正实现“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”. 二是多设计开放性的课堂问题. 例如，在新课讲授的过程中，不直接推导定理或者给出问题，而是给出开放性的问题，引导学生思考、探究，让学生找出新旧知识的内在联系，在探究中内化知识，最终转化为数学素养和能力. 三是在单元复习中多运用结构不良型问题进行系统、科学的复习. 例如，结合全国Ⅰ卷中的问题，重新构造结构不良型开放题.

（全国Ⅰ卷·文18）[△ABC]的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]. 已知[B=150°].

（1）若[a=3c]，[b=27]，求[△ABC]的面积;

（2）若[sinA+][3sinC=22]，求[C].

可以尝试将该题的第（2）小题改编为：在①[ab=][6+2]，②[csinA=3]，③[c=3a]这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求[c]的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在[△ABC]，它的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c].[sinA+3sinC=22]，且[B=5π6，]          ？

2. 在教学中应该坚持三个注重

（1）重基础，规范解题过程.

2020年的高考数学试题尽管形式灵活多变，但是都以基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验为基础. 因此，在教学中，要以《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）为基础，围绕教材，对重点内容强化复习，夯实基础知识，同时训练学生规范解题过程，尽量避免因步骤不全、审题不细、计算失误造成的失分.

（2）重教材，挖掘数学本源.

教材既是《标准》具体实施的基础，也是高考命题的源头活水，高三复习应立足教材、善用教材，对教材实施二次开发. 首先，要重视教材上一些基础知识的形成过程. 例如，借助单位圆建立一般三角函数概念形成的过程，体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最值等性质;探索和研究三角函数之间的恒等关系;利用三角函数模型构建数学模型，解决实际问题;借助外接圆和向量证明正弦定理和余弦定理等. 高考中的常考题型都源于这些知识的形成过程. 其次，要加强对教材例题、习题的研究与创新. 通过改编、重组、变式、拓展等方式充分挖掘教材上的典型例题、习题，做到一题多变、一题多解，注重对學生举一反三能力的培养. 最后，要充分挖掘中国文化、生活材料与数学知识的联系. 近年来，高考命题通过与文化背景的结合，增大了试题的阅读量，体现了对数学文化的重视.

（3）重思想，提高数学能力.

在对解三角形知识的考查中，我们也看到了对学生数学思想方法和能力的考查，这部分重点考查转化与化归、函数与方程、数形结合等思想，考查学生运算求解的能力和灵活变换的意识. 因此，在教学和复习过程中，教师不仅要重知识传授，更要重思想渗透和能力发展，切忌随意拔高、盲目拓展，要让学生综合解决问题的能力在自我感悟中逐渐提高.

参考文献：

[1]于涵. 新时代的高考定位与内容改革实施路径[J]. 中国考试，2019（1）：1-9.

[2]任子朝. 从能力立意到素养导向[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（13）：1.

收稿日期：2020-08-01

作者简介：于莺彬（1979— ），女，中学一级教师，青岛市教学能手，青岛市中小学学科带头人，青岛市名师，青岛市优秀教师，主要从事高中数学教学与实践研究.