高考试题中直观想象素养的水平层次分析

摘  要：高考数学试题对素养的考查有着不同的水平层次，以2020年全国高考数学试题为例，设置情境、直观、想象三个关键维度，每个维度划分为由低到高的三个层次，构成直观想象素养的不同水平层次. 素养水平层次的有效划分，有助于在数学教学中对直观想象能力进行系统而有步骤的培养.

关键词：高考试题;直观想象;素养水平;教学情境

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形理解和解决数学问题的素养. 作为数学学科的六大核心素养之一，直观想象在分析问题和解决问题中起着重要的作用. 根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的说明，直观想象素养在学业水平测试和高考中体现出不同的水平层次.

一、直观想象素养的不同层次水平分析

结合《标准》和教学中的实际情况，笔者尝试确定直观想象素养中的三个关键词：情境，直观，想象.

第一个关键词是“情境”（Situation）. 根据试题提供的问题背景，可能是数学情境、生活情境、科学情境等. 按其内容的综合程度与学生认知的接受程度，可以将其分为三个层次：熟悉的情境（S1），关联的情境（S2），综合的情境（S3）.

第二个关键词是“直观”（Visual），面对情境及提出的问题，直接接触事物而获得的感性认识，直观侧重于对图形的认知. 根据试题给出的条件，在对图形的获取上可以分为三个层次：看图（V1），构图（V2），变图（V3）. 其中，“看图”是指问题给出了所需要的图形，解题者可以直接“看图说话”;“构图”是需要根据条件从“数”中抽象出“形”，或根据事物的结构特点构造图形来描述和表达问题;“变图”则需要有策略地对条件进行转化再构造合适的图形，或对图形进行分解、组合、变换等创造性处理，以更好地反映事物的本质与联系.

第三个关键词是想象（Imagine），想象是人在头脑中对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程，想象与思维有密切的联系，按其思维的深度可以分为三个层次：描述（I1），分析（I2），探索（I3）. 其中，“描述”指能够通过图形直观认识数学问题，能够用图形描述和表达熟悉的数学问题，直观认识数学问题，体会图形与图形、图形与数、图形与实物之间的联系;“分析”指能联想图形的性质，挖掘条件和目标之间的联系，能借助图形发现问题、启迪思路;“探索”指能借助图形进行有深度、多角度、有创新地思考，能提出问题、研究问题，优化问题结构，探求事物的本质.

这三个关键词构成素养这一个整体的三个维度，可以用一个数组[Si，Vj，Ik]（[i，j，k∈1，2，3]）来表示某个水平，借助立方体可以体现直观想象蕴含的丰富、立体的水平层次感，如图1所示. 例如，[S1，V1，I1]就表示在学生熟悉的情境下，直接观察已给的图形，对问题进行简单的描述.

二、高考试题中直观想象素养的水平体现举例

在高考试题中，体现直观想象素养的主要有三个方面：一是数与形的转化;二是形与形的转换;三是物与形的联结. 下面以2020年高考数学全国卷（理科）试题为主，举例考察直观想象素养的水平层次.

1. 数与形的转化

高中数学的重點研究对象之一是数与形及其关系，数与形是一个整体的两个方面，相互依赖且不可分割. 例如，实数与点的对应，造就了函数与图象、方程与曲线、不等式与平面区域、代数式与几何量之间的相互联系与转化，各“数”有各“形”.

例1 （全国Ⅰ卷·理2）设集合[A=xx2-4≤0]，[B=x2x+a≤0]，且[A∩B=x-2≤x≤1]，则[a]的值为（    ）.

（A）-4    （B）-2    （C）2    （D）4

问题以学生熟悉的两个数集的交集为背景，可以构造数轴上的区间，用图形描述集合的关系. 此题可以用（S1，V2，I1）表示水平，归为水平一.

例2 （全国Ⅰ卷·理11）已知[⊙M：x2+y2-2x-][2y-2=0]，直线[l：2x+y+2=0]，[P]为[l]上的动点，过点[P]作[⊙M]的切线[PA，PB]，切点为[A，B]，当[PMAB]最小时，直线[AB]的方程为（    ）.

（A）[2x-y-1=0]                （B）[2x+y-1=0]

（C）[2x-y+1=0]               （D）[2x+y+1=0]

该题已知直线与圆的方程，能根据方程画曲线，进行简单的几何作图，如图2所示. 这是在熟悉的情境下通过作图对问题进行简单地描述，但是点[P]的运动可以引起几何量[PMAB]的变化. 由于[PMAB=][2S四边形APBM=4S△PBM=2PBBM=4PM2-4]，[PMAB]取到最小值时，点[P]的位置即为点[M]在直线[l]上的射影，再求相应位置时直线[AB]的方程，可以结合图象及选择支提供的信息，确定答案选D，如图3所示.

这是一个涉及多知识点的数学关联情境，需要动态的直观，能对几何量进行转化，反映出图形的本质. 这个分析过程可以用水平（S2，V3，I2）表示.

例3 （全国新高考Ⅰ卷21 / Ⅱ卷22）已知函数[fx=][aex-1-lnx+lna.]

（1）当[a=e]时，求曲线[y=fx]在点[1，f1]处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

（2）若[fx≥1]，求a的取值范围.

该题是含参数的不等式恒成立问题，是一个较熟悉的数学情境. 处理函数问题的一般策略是有图象不抽象.

角度1：借助技术直接画出[fx]的图象，设置参数[a]反映图象的动态变化过程，如图4和图5所示，能直观地获得解题的思路和结果的猜想.

当[0<a<1]时，[f1=a+lna<1]，条件不满足. 当[a≥1]时，由于[fx=aex-1-1x，x>0]，只需证明当[fx0=aex0-1-1x0=0]时，[fx0=aex0-1-lnx0+lna≥1]. 这是二元问题，可以采用减元法. 显然[a=][1x0ex0-1≥1]，得到[0<x0ex0-1≤1]. 解得[0<x0≤1]. 则有[fx0=1x0-][x0-2lnx0+1≥f1=1].

角度2：若考虑到指数函数与对数函数的关系，将待证不等式进行变换，即[aex-1-lnx+lna≥1？][aex-1≥lnx-lna+1]. 構造两个函数[hx=aex-1]，[gx=][lnx-lna+1]，[a>0]，[x>0]，可以发现它们互为反函数，两者的图象都是单调上升且关于直线[y=x]对称，结合图6和图7直觉判断[lnx-lna+1≤x]恒成立，易求得[a≥1].

角度3：基于指数运算与对数运算的关系，可以将不等式两边化为同构的函数，再利用函数单调性求解. 若[fx≥1]，则[elna+x-1-lnx+lna≥1]，即[elna+x-1+][lna+x-1≥elnx+lnx]. 设[gx=ex+x]，则[glna+x-1≥][glnx]. 考虑到[gx]是增函数，得[lna+x-1≥lnx]. 从对数曲线与直线的位置关系，可知[lna≥0]使不等式成立.

构图可以启迪思路，但构图有难易，分析有繁简，直觉更需理性. 直观和想象都需要合理的选择和变通，由此可知该题的解决水平可以用（S1，V3，I3）来表示，具有较高难度，属于水平二.

2. 形与形的转换

给定的图形需要适当转换才更能反映问题的本质. 例如，空间图形及其三视图、直观图、展开图的转换，图形的整体与局部、高维与低维的转换等.

例4 （全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·16）已知直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的棱长均为2，[∠BAD=60°]. 以点[D1]为球心，[5]为半径的球面与侧面[BCC1B1]的交线长为     .

问题研究的是直四棱柱侧面与球的交线，是学生在立体几何学习中所熟悉的情境，但对空间想象能力要求较高. 学生需要画出符合条件的直四棱柱的直观图，再从这个图中解构出一个个基本图. 例如，（1）根据平面[A1B1C1D1⊥BCC1B1]，作点[D1]在平面[BCC1B1]上的射影[F]，如图8所示. 可得[D1F⊥]平面[BCC1B1];（2）平面[BCC1B1]与球相交的截面圆，如图9所示，圆心为[F];（3）在平面[BCC1B1]上，侧面[BCC1B1]与截面圆的交线[GH]，如图10所示，通过计算得到其长为[22π]. 其水平层次可以用（S1，V3，I2）表示.

3. 物与形的联结

借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，是直观想象的一个重要方面. 它融合了数学抽象和数学建模素养，在实际情境中最能体现对素养的考查.

例5 （全国Ⅰ卷·理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率[y]和温度[x]（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据[xi，yi i=1，2，…，20]得到如图11所示的散点图.

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率[y]和温度[x]的回归方程类型的是（    ）.

（A）[y=a+bx]                   （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex]                （D）[y=a+blnx]

该题以学生课外学习小组研究种子发芽实验为背景，涉及数据分析和各类函数的图象与性质，属于关联情境. 要研究发芽率与温度的关系，需要采集数据，并将数据画成散点图，直观感知其形状变化，再联想到相应函数的变化规律，用函数来刻画，即可以确定答案为选项D. 该题考查的本质是对各种函数图象形态的判断，分析过程可以用水平（S2，V1，I1），总体属于水平一.

例6 （全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器（如图12），利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时

间. 把地球看成一个球（球心记为[O]），地球上一点[A]的纬度是指[OA]与地球赤道所在平面所成角，点[A]处的水平面是指过点[A]且与[OA]垂直的平面. 在点[A]处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点[A]处的纬度为北纬40°，则晷针与点[A]处的水平面所成角为（    ）.

（A）20°   （B）40°   （C）50°   （D）90°

日晷是中国古代最经典和传统的天文观测仪器. 该题以地球与日晷的位置关系为研究对象，通过数学的抽象，归结为球、平面、直线等数学对象的位置关系，在想象空间结构（如图13）的基础上，以半径[OA]和晷针[AB]所在平面作截面构造平面图形（如图14）进行分析，从而将三维空间问题转化为二维平面问题. 此题的情境较为复杂，但由于题目条件已经对实际对象进行了数学抽象，所以解题的关键是需要学生具备一定的构图能力，并能借助空间角的平面角的定义进行转化，其水平层次可表示为（S3，V2，I2），属于水平二.

三、对教学的启示

以全国Ⅰ卷理科试题为例，全卷可以借助直观想象处理的问题分值占75%以上，内容涉及数学的方方面面，考查水平集中在水平一和水平二. 对直观想象素养不同水平层次的研究，有助于在教学中根据其水平层次对学生进行系统而有步骤的培养. 在平时的教学中充分挖掘直观想象素养的教学材料，并进行有效的组织实施，显得尤为重要.

1. 重视数学概念的多元表示

一个数学概念，如集合、函数、向量等，往往都有三种语言的表示方式，即自然语言、符号语言和图形语言. 熟练掌握数学概念中语言的互译是发展直观想象素養的基础. 掌握语言的关键途径是运用，因此需要在教学的各个环节鼓励学生养成用数学的语言从多个角度对问题进行描述的习惯.

2. 重视对数学本质的感悟

数学本质就是精简实用、平易近人，根源往往自然且富有直观内涵. 借助图形可以得到直观的感悟. 例如，全国Ⅲ卷理科第3题考查不同统计样本中的标准差的大小比较，学生往往会用公式进行直接运算，而忽视了其背后的数学意义和实际意义. 如果借用图形来表示，样本的均值与样本点的重心相关，样本的标准差则体现了样本点与重心的离散程度（距离的和），依据这一意义可以进行直观判断，这是素养水平更深一层的体现.

3. 重视教学中问题情境的设置

数学是有用的，数学素养主要体现为在不同的情境中能熟练地使用数学知识. 为此，教学中有必要注重情境的设置，特别是通过关联情境和综合情境，鼓励学生发现问题、提出问题，能用图表等直观的工具认识问题，进而感悟数学知识的意义和价值.

4. 直观想象与其他素养是一个整体

从分析问题的过程来看，直观想象可以启迪思维，但眼见不一定为实. 对问题的深入研究还需要数学运算、逻辑推理的持续跟进. 同时，要实现高质量的直观想象，也需要在分析问题的过程中，在策略性的指导下进行数学抽象、数学建模、数学运算，再选择合适的构图. 要在教学中实现综合素质的整体提升，在课堂上要充分重视学生的主体地位，只有给学生机会，让学生表现、交流，才有课堂的活力和学生能力素养的真正提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]项武义. 基础代数学[M]. 北京：人民教育出版社，2011.

[3]凯·斯泰西，罗斯·特纳. 数学素养的测评：走进PISA测试[M]. 曹一鸣，译. 北京：教育科学出版社，2017.

收稿日期：2020-08-04

作者简介：李柏青（1972— ），男，正高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学教学研究.