指向数学核心素养的任务设计

摘  要：以一个生活问题为切入点，设计了作为定积分学习驱动问题的学习任务. 分情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个环节完整呈现了将实际问题转化为数学问题，并运用定积分加以解决的过程. 探讨了此学习任务中各个环节所涉及的数学学科核心素养，并对驱动问题的設计提出一些看法.

关键词：核心素养;驱动问题;定积分

一、背景

高中阶段的微积分教学是高中数学教学中值得研究的一个问题. 面对高中学生，微积分教什么、怎么教是一线教师关注的焦点. 纵览古今中外高中阶段微积分课程的发展，可知微积分教学及其改革的艰巨性、复杂性和紧迫性.

过去十余年，笔者曾面向不同的学生群体教授过一元微积分课程，内容从一元函数的极限至无穷级数为止. 这些授课对象包括：低年级（非数学专业）本科生;选修大学先修课程（或者美国AP课程）的高中生、少数资优初中生等. 上述课程的共同特点是偏重计算，淡化以实数理论为代表的部分内容. 大多数学生关注的焦点也集中在“是什么”，而很少追究“为什么”，更遑论主动思考“还有什么”. 不少学生对所学内容考完就忘，在今后的学习、工作中遇到实际问题，也很难想起借助微积分来寻求解答，这不能不说是教学的遗憾.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学课程应当凸显数学的内在逻辑和思想方法，强调数学与生活及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力. 据此，笔者产生了用“问题解决”来推动微积分学习的想法. 本文把一个源自日常生活的趣味问题作为定积分教学的驱动问题，尝试设计一个包含情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个环节的学习任务，并藉此来发展学生的相关数学素养.

二、任务设计

1. 设计目标与重、难点

认知目标：掌握定积分的定义，认识变化率和总改变量之间的关系，拓展对速率的认识.

能力目标：运用类比、数学化的思想，提高合情推理能力，培养数学交流、表达能力，尝试数学建模的过程，体验基本的问题解决过程. 着重发展学生的数学抽象、数学建模、直观想象和数学运算素养.

育人目标：通过做数学，亲历将总改变量转化为定积分的过程，并体验数学与生活的联系，从而引导学生主动发现问题，自主运用数学工具解决问题，感悟数学的无处不在和巨大能量.

任务重点：将实际问题转化为定积分，鼓励学生主动思考、积极交流.

任务难点：建立适当的被积函数，将问题转化为定积分并求解.

2. 教学环节

（1）情境与问题.

情境：生活中经常听到消费者用“一抓准”来形容资深售货员能在不借助仪器的情况下，直接抓取顾客所需分量的商品，以此称赞他们的业务能力. 现在来考虑一个与“一抓准”类似的“一开准”问题.

早晨刷牙，拧开水龙头，用杯子接水，是一个每天都要重复的动作. 通常的做法是，先拧开水龙头，等待杯中的水“差不多”装满，再迅速地关闭水龙头，以防止浪费. 那么，以什么样的角速度开关水龙头，可以使得当水龙头从完全关闭的状态变成完全打开，不作任何中间停留，直接再以相同速度回到完全关闭之后，总的出水量恰好能达到指定的值？

问题：试计算能实现“一开准”接水过程的开关水龙头的“角速度”.

（2）知识与技能.

知识：定积分的概念.

如果函数[fx]在区间[a，b]上连续，用分点[a=x0<x1< … <xi-1<xi< … <xn=b]将区间[a，b]等分成[n]个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点[ξi][i=1，2，…，n，] 作和式[i=1nfξiΔx=i=1nb-anfξi，] 当[n→+∞]时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数[fx]在区间[a，b]上的定积分，记作[ abfxdx，] 即[ a bfxdx=limn→+∞i=1nb-anfξi.] 这里，[a]与[b]分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数[fx]叫做被积函数，[x]叫做积分变量，[fxdx]叫做被积式.

技能：曲边图形面积问题与变力做功问题的解决示范.

例1 （曲边图形面积）如图1，求由函数[fx=x2]的图象与直线[x=1，y=0]所围成的平面图形的面积[S.]

解：按照分割、近似代替、求和、取极限的步骤，得[S=limn→+∞Sn=limn→+∞i=1n1nfi-1n=limn→+∞131-1n1-12n=13.]

例2 （变力做功）如图2，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置[l]m处，求克服弹力所做的功. 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力[Fx]与弹簧拉伸（或压缩）的长度[x]成正比，

即[Fx=kx，] 其中常数[k]是比例系数.

由变力做功公式，得

[W=0lkxdx=12kx2l0=12kl2]（J）.

（3）思维与表达.

思维：通过对上述两例的学习，已初步理解了定积分的意义和从已知变化率求出总改变量的一般过程. 与变力做功的例题类似，在“一开准”问题中，杯子里水量的变化率也是一个随时间变化的（非常值）函数，但是在非常短的时间区间内，这一变化率的变化也非常小，从而可以近似地看作一个常数. 如此，便完成了曲边梯形计算中关键的“近似代替”步骤，使得把曲边梯形面积的计算过程用于“一开准”问题的设想成为可能.

表达：如同例题所展示的，利用定积分解决问题，需要突破两个关口：其一，是变化率函数，即被积函数的确定;其二，是变化率与改变量之间由定积分确定的等量关系.

此问题中的变化率是单位时间内由水龙头中流出的水量，这个量一般称为水的流量. 易知，流量可由水流的横截面积与水管内水的流速确定，而随着水龙头开的“大小”改变的是面积. 因此，假設流速稳定，只需求出横截面积随时间变化的函数即可.

问题解决.

① 一般假设.

首先，明确问题中谈论的“水龙头”的工作原理. 假设我们所考虑的水龙头是以球阀来控制水流的，其内部结构如图3所示.

其次，是水管口径、水在管内的流速这两个关键数据. 考虑常见的4分管，管径按11.5毫米计算. 流速则与工程计算的约定相同，按1米 / 秒计算.

理想化假设：一方面，令球阀阀芯开口的圆面与球心的距离为球体半径的[22，] 从而当阀芯上的开口面与阀体上的开口面垂直时，龙头恰好完全关闭;另一方面，当水龙头把手转动[θ]角时，水流的截面由一个弓形和一个椭圆中的弓形组成，如图4阴影部分所示.

[O][A][B][图4]

同时，我们也假设管内水流速度平稳，呈匀速流动，且管内各处直径相同，不考虑杂质、污垢等造成的影响.

② 面积函数.

由面积射影定理，得所求面积为[r2arccostanπ-2θ4-]

[tanπ-2θ41-tan2π-2θ41+sinθ，r=OA.]

按照以上分析得到的模型固然比较精确，但是并不实用. 为此，考虑模型中最复杂的部分：[Sθ=][arccostanπ-2θ4-tanπ-2θ41-tan2π-2θ4，] 其图象如图5所示.

不难发现[Sθ]的图象与函数[S=θ]的图象非常接近，这启发我们用[r2θ1+sinθ]来取代原先的模型. 结合水龙头的管径与出水速度等数据，得到简化的流量模型：[vθ=10011.522 · θ1+sinθ≈33.06θ1+sinθ]（单位：厘米3 / 秒）.

③ 积分方程.

回到最初的问题，设水杯的容量为500毫升，水龙头匀速地从完全关闭到完全打开用时为[T.] 由定积分的定义，可得[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt=500.]其意义为：以角速度[π2T]将水龙头匀速地从完全关闭状态打开到最大，再以同样的速度将水龙头匀速地关上，中间不作任何停留，总共经过时间[2T]后，在这一过程中从该水龙头共流出500毫升的水.

考虑被积函数的图象（图6），结合定积分作为曲边图形面积的几何意义，由函数[T-T-t]的对称性知，被积函数在区间[0，T]和[T，2T]上的积分相等，故方程可变形为[33.060Tπ2Tt1+sinπ2Ttdt=250.] 再换元[u=πt2T，] 它对应着图象的伸缩变换（图7），故同样由定积分的几何意义（实质上是简单的换元积分法），可得方程化简为[33.06 · 2Tπ0π2u1+sinudu=250.] 注意该方程已经把原来关于[T]的积分方程转化成了代数方程. 借助计算器，得定积分[0π2u1+sinudu≈2.233 70，]代入方程解得[T≈5.32]（秒）.

（4）交流与反思.

交流：上述计算过程中有两个值得探讨的问题. 首先，为求定积分[02T33.06π2TT-T-t1+sinπ2TT-T-tdt]的值，我们运用了函数的对称性来帮助简化算式;而为了求解得到的（积分）方程，又通过变量替换的方法将[T]从积分号下“解放”出来. 这一现象在定积分的计算中是否具有普遍性？

其次，最后的定积分[0π2u1+sinudu]是通过计算器的帮助来求值的，但是其被积函数是我们熟悉的初等函数之积. 这样的积分可以不借助计算器求解吗？

反思：在我们对模型的初步简化中选择[S=θ]来进行近似，更多地依赖于对函数图象的直观感知，这是一种不太严谨的处理手段. 在数学上更加合理的做法是利用最小二乘法来寻找已知函数[Sθ]的线性逼近. 可得到[Sθ≈lθ=1.040 49θ-0.054 73.]

为比较这两个逼近，在同一坐标系中作三个函数[S=Sθ，S=θ]和[S=lθ]的图象，如图8所示. 容易发现，三个图象在[θ=0]附近的偏差相对明显，在[θ=π2]附近则相当接近.

分别计算三个函数与[1+sinθ]相乘之后的积分，得[0π2Sθ1+sinθdθ≈2.183 48; 0π2θ1+sinθdθ≈2.233 70;][0π2lθ1+sinθdθ≈2.183 44.] 因而，在积分的意义下，[lθ]给出了更好的逼近. 与此同时，我们不禁要问：最初的观察[Sθ≈θ]只是一种单纯的巧合，还是背后另有道理呢？

为此，考查[Sθ]在[θ=π2]处的泰勒展开式，可知[Sθ=π2+θ-π2+124θ-π23+oθ-π24，] 值得注意的是，[Sθ-π2]是关于[θ-π2]的奇函数. 因此，当[θ]与[π2]相差不大时，用[S=θ]对[S=Sθ]进行逼近既有微分运算的支持，也是符合直观感知的. 但是由于原问题关注的是函数[S=Sθ]在积分中的行为，因此最小二乘法给出的逼近[S=lθ]更佳.

三、小结

上述问题解决的各个环节中涉及的数学学科核心素养总结如下表.

此外，积分方程化为代数方程的变形过程隐藏了换元积分公式和分部积分公式. 在现阶段的知识基础上，这些公式的推导可以作为拓展学习的内容定性地展开. 同时，其背后的一般性事实又能作为激发学生进一步学习微积分热情的突破点.

事实上，在教学中将数学知识技能与生活、科学问题相结合的想法由来已久，国内外很多同行也已进行了许多尝试. 但是在实践过程中，往往会遇到各种障碍：学生对学科之间的联系认识不足，导致无法识别驱动问题中潜在的数学问题;求解问题所需的数学能力低于学生当前学习的数学课程的要求，贬低了数学应用的价值;数学教师难以转换角色，扮演“数学的使用者”，凡此种种，不一而足. 笔者认为，要解决上述种种矛盾，寻找恰当的驱动问题不失为一个可行的解决方案. 因此，本文进行了一个初步的尝试，试图帮助教师解决“怎么教”的困惑，也为学生提供更多“为什么而学”的理由，希望能起到抛砖引玉的作用.

参考文献：

[1]匡继昌. 如何给中学生讲授微积分[J]. 数学通报，2006，45（5）：2-4.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]DOIG B，WILLIAMS J，SWANSON D，et al. Interdisciplinary Mathematics Education[M]. Cham，Switzerland：Springer Open，2019.

收稿日期：2020-09-21

作者简介：汪健（1984— ），男，中学一级教师，主要从事单元设计研究.