让数学思维自然生长

摘  要：几何概型是随机试验的可能结果无穷多的一种概率模型. 教师通过材料，为学生提供不同的思维方向，让学生自己去思考、选择，从而形成认知冲突，找到对无穷多试验结果的一种度量方式，让几何概型与古典概型在测度上形成统一，让有限与无限形成统一，进而提升学生的数学学科核心素养.

关键词：几何概型;基本事件;基本事件个数;基本事件个数的度量

数学是思维的体操，学生要学会用数学思维思考世界. 好的课堂教学能使学生学会思考，掌握数学思想方法. 让学生学会独立思考的教学，不是将数学的思想方法直接灌输给学生，而是通过材料，提供不同的思维方向，让学生自己去思考、选择，最后形成解决某一（类）问题的数学思想方法，从而提升学生的数学能力.

在几何概型教学中，为了提高教学水平，笔者拜读了关于几何概型教学设计的系列文章（见参考文献），对几何概型教学进行了二次设计. 下面是笔者关于几何概型的教学过程与思考，望各位同仁指教.

一、教学过程

1. 思维冲突一：基本事件及度量

学生在前面已经学习了古典概型及其求法，教师先引导学生解决例1.

例1  某种饮料每箱6瓶，如果其中有2瓶不合格，问质检人员从中随机抽出2瓶，检测出不合格饮料的概率有多大？

解：① 确定基本事件（试验结果）：从6瓶中随机抽出2瓶.

② 列出所有的基本事件. 将合格的饮料标记为1，2，3，4，不合格的饮料标记为[a，b]，不放回抽取2瓶，所有可能的基本事件如下：[1，2]，[1，3]，[1，4]，[1，a]，[1，b]，[2，3]，[2，4]，[2，a]，[2，b]，[3，4]，[3，a]，[3，b]，[4，a]，[4，b]，[a，b].

每一个基本事件出现的可能性相等，所有的基本事件一共有[15]个，记为[n].

③ 事件[A=][抽出的2瓶饮料有不合格产品]，包含的基本事件的个数为[9]，记为[nA].

④ 概率[PA=A包含的基本事件的个数基本事件的总数=nAn=][915=35].

古典概型的思维步骤：确定基本事件;通过列出所有的基本事件计算出所有的基本事件的个数[n];求出事件[A]包含的基本事件的个数[nA];求概率[PA=][nAn]. 接着，教师引导学生解决例2.

例2  一个游戏转盘如图1所示（每一部分的圆心角均四等分或八等分周角），甲、乙两人玩转盘游戏，当指针指向[B]区域时，甲获胜，否则乙获胜. 求甲获胜的概率.

【设计意图】例1为标准的古典概型问题，它与例2看似无关，但应该关注其思想方法，而不是其外在形式. 两道例题都选自教材，教学时要用好教材，尽量挖掘教材的内涵和价值.

生1给出解法1，如下.

解法1：① 基本事件：指针指向的区域.

② 列出所有的基本事件：指向[N]的区域有3个，指向[B]的区域有3个， 一共有[6]个区域.

③ 事件[A=指向B区域]，包含的基本事件的个数为[3].

④ 概率[PA=36=12].

生2：这几个区域有大有小，试验结果不是等可能的，这不是古典概型.

生3：添加辅助线，将圆盘八等分，如图2所示，使指针指向每个扇形区域的可能性相等，则概率[PA=][48=12].

师：第一次指针指向[B]区域，第二次指针指向另一位置的[B]区域，两次试验的结果是否等可能？

生4：我认为基本事件不是区域，而是指针的指向，指向圆弧（到圆心距离相等）上的点，指针指向圆弧上不同的两点是两个不同的基本事件，指向圆弧上每一个点都是等可能的，所以基本事件可以用几何元素——点（指针指向圆弧上的点）来代表，可是这样的基本事件又有一个问题：基本事件有无数多个，事件[A=][指向B区域]中所包含的基本事件（指针指向[B]区域中圆弧上的点）也有无数多个，怎么办？

师：现在请同学们讨论生4提出的两个问题. 基本事件是指针指向圆弧上的点，指向任意一点都是等可能的吗？基本事件个数无穷多，怎么办？

学生讨论.

师：基本事件个数无穷多，有什么办法可以解决？从现实生活中的事例能否得到启示？例如，稻谷的粒数太多无法计量就用重量来度量，水的分子数太多无法计量就用容积来度量，等等.

学生由此联想到指针指向圆弧上的点排列起来可以用长度来度量. 生4给出这个问题的解答，如下.

① 基本事件：指针指向圆弧（到圆心距离相等的点）上的点.

② 所有基本事件=[指针指向圆弧上的所有点]，所有基本事件所构成的区域长度为[2πr]（[r]为点到圆心的距离），记为[n].

③ 事件[A=指针指向B区域中圆弧上的点]，构成事件[A]的区域长度为[πr]，记为[nA].

④ 概率[PA=nAn]=[πr2πr=12].

师：数量太多无法计量，就用其他单位来度量. 集合的元素个数太多无法计数时，就用其他单位来度量，或称测度. 为了简化表达，我们约定所有基本事件的集合用[Ω]表示. 此题中，其测度值[lΩ=2πr]，事件[A]的测度值[lA=πr]，[PA=lAlΩ].

这个问题还可以进行如下解释：基本事件是指针的指向，就是方向射线，方向射线可以用几何元素“角”来表示，角可以度量，得到解法2.

解法2：① 基本事件：指針的指向角.

② 所有基本事件[Ω=所有指向角，] [lΩ=360°].

③ [A=][指向B区域的角]，[lA]=[45°]+[90°]+[45°]=[180°].

④ 概率[PA=][lAlΩ=180°360°=12.]

【评析】知识建构的过程也是问题解决的过程. 设置问题情境，引发学生思考探究，在问题解决的过程中，发现原有的知识方法不足以解决问题，而需要引入新概念、新方法才能解决时，新的知识自然而然就出现了. 在例2的求解过程中，使用的方法还是求古典概型的方法，只不过基本事件的个数无法度量而引入了新的度量方法，由此就建立了新的概率模型，即几何概型. 这样的知识建构不仅位于学生思维的最近发展区，容易将新知识融入学生原有的知识结构中，而且直指新知识的本质内容，这样就不会使学生空泛地知道几何概型大致是與几何有关的概率模型，却不了解几何概型中最本质的基本事件是什么. 由此可知，设置合乎知识内在发展逻辑的问题情境尤为重要.

2. 思维冲突二：用几何中的点代表数

例3  某人午觉醒来，发现手表停了. 他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.

师：电台是每小时报时一次，在0 ～ 60分钟之间任何时刻打开收音机听到报时的可能性相等，虽然0 ～ 60分钟之间有无穷多个时刻，无法计数，但是时间可以度量.

生5给出解法，如下.

解：① 基本事件：打开收音机的时刻.

② [lΩ=60]分钟.

③ [A=][打开收音机等待的时间不多于10分钟，即][时刻位于50，60时间段内，lA=60-50=10]分钟.

④ [PA=lAlΩ]=[1060=16].

师：0 ～ 60分钟之间，分针刚好转了一圈，所以打开收音机的时刻可以以分针的指向角来表示.

生6给出解法，如下.

解：① 基本事件：打开收音机时分针的指向角.

② [lΩ=360°].

③[A=][等待的时间不多于10分钟的分针指向角]，[lA=60°].

④[PA=lAlΩ=60°360°=][16.]

师：每个时刻都可以用一个数来表示，0 ～ 60分钟之间有无穷多个时刻，那么就有无穷多个数，而这些数是连续的，又该如何度量？

实数与数轴上的点一一对应，无数个连续的实数在数轴上排列形成线段，度量值就是这条线段的长度. 例如，[A=x0<x<10]，[lA=10]，如图3所示.

生7给出解法，如下.

解：① 基本事件：0 ～ 60之间所有的数.

②[lΩ=60].

③[A=50，60]，[lA=60-50=10].

④[PA=lAlΩ]=[1060=16].

由此可知，在所学的概率模型中，当基本事件（试验结果）的个数无法计量时，可以将其转化为点或角，其概率就是点或角构成区域的长度（面积或体积）或角度的比值. 这种概率模型就是几何概型.

【评析】几何概型本质上是试验的所有结果无穷多，让学生在不同情境中体会什么是“所有结果无穷多的度量”，加深对几何概型的理解，也就明白了教材编写者的用意. 时刻的表示方式有很多种，既可以直观地用指针的方向表示，也可以用实数表示. 学生可以自然地想到用数轴上的点来度量这些实数，即用形表示数，这就在无形中发展了学生的直观想象素养.

3. 思维冲突三：从一维到二维

例4  假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30 — 7：30之间把报纸送到家中，小明的父亲离开家去上班的时间在早上7：00 — 8：00之间，问小明的父亲在离开家前拿到报纸（称为事件[A]）的概率是多少？

生8：这里有两个时间，一个是送报人到达的时间，另一个是父亲离开家的时间，基本事件是哪一个？

师：之前我们抛甲、乙两颗骰子，出现的点数有两个，基本事件是什么？

生8：甲、乙两颗骰子出现的点数分别为[x，y]，用实数对[x，y]表示. 哦，我明白了！设送报人到达的时间为[x]，父亲离开家的时间为[y]. ① 基本事件为：[x，y]. ② 所有的基本事件（所有试验结果）为：[Ω=][x，y6：30≤x≤7：30，7：00≤y≤8：00]. 基本事件个数不可数，需要用度量值，那么如何度量？

师：实数对应数轴上的点，实数对[x，y]对应平面直角坐标系上的点，无数个连续的实数对在平面直角坐标系内排列形成平面图形，度量值就是这个平面图形的面积.

生8：现在我知道如何解了，如图4所示，[Ω]的面积[SΩ=][1×1=1]，[A=][父亲在离开家前能得到报纸]=[x，yy≥x，6：30≤x≤7：30，7：00≤y≤8：00]，[A]的面积[SA=1-12×12×12=78]，概率[PA=SASΩ=78].

师：实数用数轴上的点表示，实数对[x，y]用平面直角坐标系上的点表示，实数组[x，y，z]就可以用空间中的点表示，这就是数形结合思想，即把数的问题转化成形的问题思考.

【评析】理解教材的设计意图和内在的知识联系，了解知识的发生发展是由浅入深、由简单到复杂的，学生的认知规律也是如此. 通过类比，让学生掌握一种基本数学思想：一个量可以用一维数轴（直线）上的点表示，两个量可以用二维平面上的点[x，y]表示，三个量用三维空间中的点[x，y，z]表示，……这也就是用数学语言表达世界.

4. 思维冲突四：从无限到有限

例5 （1）在[0，1]上随机取一个数，求取到0.5的概率.

（2）在例2中，指针指向[B]区域与[N]区域的分界线的概率是多少？谁获胜？

通过具体实例，让学生体会到有限相对无限的概率为0. 由此导致了古典概型与几何概型之间产生一些差异.

生9：0.5对应一个点，点的长度为0，[PA=][lAlΩ=01=0].

生10：[B]区域与[N]区域的分界线有6条，对应圆弧上有6个点，[lA=6×0=0]，[PA=lAlΩ=02πr=][0]，指向分界线的概率为0，所以对谁获胜都没影响.

师：对于第（1）小题，也可以用古典概型来理解，[PA=][nAn]=[1∞=0]，就像是从游泳池中随机抽取一个水分子，抽到某个特定水分子的概率肯定为0. 因为事件[A]的概率是其发生频率随试验次数增加的稳定值，在这个问题中稳定值为0也就不难理解了，因此，数学有时很美妙，有时也很奇怪.

在幾何概型中，概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件也不一定是必然事件，这与古典概型不同. 随机事件[A]的概率范围由古典概型中的[0<PA<1]，扩充到了几何概型中的[0≤PA≤1]. 甚至还有，在区间[0，1]上任取一个数，取到有理数的概率为0.

练习：若[PA？B=PA+PB=1]，则事件[A]与事件[B]的关系是（    ）.

（A）互斥不对立    （B）对立不互斥

（C）互斥且对立    （D）以上答案都不对

【评析】对基本事件个数的度量方式不同，因此几何概型有它独特的性质，这些性质奇特而美妙，虽然不符合直观感觉，但是经过内在逻辑计算得到后，会发现也在情理之中. 让学生欣赏到数学的美、体会到数学的妙，这同样是用数学眼光欣赏世界. 当教师提出“取到有理数”的概率为0时，还会引发学生通过课外阅读进一步探索的欲望，学生对数学的兴趣也会由此点燃. 这是不能通过学生大量做题获得的，需要教师挖掘教材内涵，设计恰当的情境，才能使学生充分领略数学思想之美.

二、教学思考

1. 基本事件的几何元素

几何概型中最重要的是理解表示基本事件（试验结果）的几何元素是什么. 对于同一个问题可以选择不同的几何元素，但基本事件的发生必须等可能. 下面两道例题的出错率非常高，有时即便能够解答正确也无法说清楚解题思路.

例6  在区间[-1，1]上随机取一个数[x]，则[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为（    ）.

（A）[13]  &nbsp;                                  （B）[2π]

（C）[12]                                 &nbsp;   （D）[23]

简解：① 基本事件：区间[-1，1]上的数[x].

② [lΩ=2].

③ [A=x0<cosπx2<12，且-1≤x≤1]

[=x23<x<1或-1<x<-23，]

[lA=23].

④ [PA=lAlΩ=13].

例7  如图5，给定两个单位平面向量[OA]和[OB]，它们的夹角为120°. 点[C]为以[O]为圆心的圆弧[AB]上任意一点，且[OC=xOA+yOB]（其中[x，y∈][R]），则满足[x+y≥2]的概率是（    ）.

（A）[2-2]                          （B）[34]

（C）[π4]                                  （D）[23]

简解：① 基本事件：圆弧[AB]上的点.

② [lΩ=][2π3].

③ [A=点COC=xOA+yOB，x+y≥2]，[x，y∈R.]

过点[C]作[AB∥AB]，交[OA]于点[A]，交[OB]于点[B]，作[CE∥OB]，交[OA]于点[E]，作[CF∥OA]，交[OB]于点[F]，如图6所示.

则[OC=OE+OF=xOA+][yOB].

所以[x=OE]，[y=OF=CE=EA].

当[x+y=][OA=2]时，

由正弦定理，得[∠OCA=135°]，[∠COA=][15°].

所以点[C]在15°至105°的圆弧上，[lA=π2].

④[PA=lAlΩ=34].

只要分清基本事件是什么，就容易区分下列容易混淆的两道经典题.

例8  如图7，在等腰直角三角形[ABC]的斜边[AB]上任取一点[M]，求[AM<AC]的概率.

说明：基本事件是[AB]上的点;[lΩ=2AC].

例9  如图8，在等腰直角三角形[ABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]内部任作一条射线[CM]， 与线段[AB]交于点[M]， 求[AM<AC]的概率.

说明：基本事件是射线[CM]的方向，用射线[CM]与边[CA]的夹角表示;[lΩ=π2].

2. 基本方法

求古典概型和几何概型的基本方法是一样的.

首先，确定基本事件（试验结果）的发生必须是等可能的;其次，求基本事件的个数[n]，如果无法求出则用几何元素点或方向来代表基本事件;再次，找到几何元素组成的图形，求事件[A]中包含的基本事件的个数[nA];最后，求概率[PA=nAn].

这样一来，为什么命名为几何概型，以及为什么要求几何概型就清楚明了了. 同时，从生活中理解了测度的概念：稻谷的粒数太多无法计数粒数就用重量来度量，水的分子数太多无法计数就用容积来度量.

3. 贝特朗（Bertrand）问题

几何概型一般是用几何元素（角或点）表示基本事件，下面我们以角和点表示基本事件，分别说明著名的“贝特朗（Bertrand）问题”.

贝特朗（Bertrand）问题：若在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长度超过该圆的内接等边三角形边长的概率是多少？

用弦心角来表示弦，不同弦长所对的弦心角不同，不同的同长弦（弦心角）都是绕圆心旋转一周，是等可能的. 问题转化为：① 基本事件为弦心角;②[lΩ]= [180°];③ [A=弦心角大于120°]，[lA=180°-120°=60°];④ [PA=lAlΩ=60°180°=13].

如果用弦的中点表示弦，则不同弦长的弦所对应的点不同，不同弦长的弦绕圆心旋转一周时，中点排列所组成的圆的测度（长度）不同，不是等可能的，所以用弦的中点作为基本事件，[lΩ=π]，超过内接正三角形边长的弦的中点在半径为[12]的圆内，[lA=π4]，[PA=14]，这样求解就是错的. 同样，用弦心距[d]作为表示不同弦长的基本事件也是错误的. 因此，涉及旋转或方向的问题，要用角表示基本事件.

三、结束语

在高中数学教学过程中，教师需要关注题型，关注题目内在知识与思想方法之间的联系，重视概念和思想的形成过程. 真正的数学基础是数学概念和数学思想.

参考文献

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收稿日期：2020-07-02

作者简介：李定平（1965— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教学设计与高考试题研究.