从一道高考题谈运算素养的培养

摘  要：以一道高考试题为例，讨论运算素养涉及的算理，立足数学基础知识和基本技能，依靠数学思想方法，设计合理的运算推理路径. 提高运算素养需要在教学中加强对基础知识和基本技能的训练，培养学生的数学思维能力.“元化”是运算素养的思维的起点和手段，一题多解可以培养学生的发散性思维能力，可以从整体上提升学生的运算求解能力.

关键词：核心素养;数学运算;高考试题;基本不等式;函数与方程

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等. 数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是一种演绎推理，是计算机解决问题的基础. 数学运算的主要表现形式有四个方面：理解数和式的有关算理;能够根据法则准确地进行运算、变形;能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径;能够通过运算，对问题进行推理和探求. 下面结合2020年高考数学全国Ⅲ卷理科第23题和数学教学实践，笔者谈谈对逻辑推理和数学运算素养培养的几点体会.

题目  设[a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.]

（1）证明：[ab+bc+ca<0;]

（2）用[maxa，b，c]表示[a，b，c]的最大值，证明：[maxa，b，c≥43.]

一、理解数与式，依据算理解读其中蕴含的数学意义

题目条件中给出的是两个方程，[a+b+c=0，abc=1，] 其中的三个变量[a，b，c]在实数范围内取值，根据实数的运算法则，从3个数的和为0、积为1出发，可知其中两个数必须小于0，一个数大于0. 由于这三个量有了范围，自然可以出现[ab+bc+ca<0]这样的问题. 由于三个量满足两个关系，根据解方程的基本思想得知，其中的两个量可以用另外一个量来表示，因此问题就转换成只考虑一个量为主元的情境，因此第（2）小题要求证[a，b，c]的最大值大于等于[43]也就容易理解了.

二、立足數学知识和技能，依靠数学思想方法设计合理的运算推理路径

1. 对第（1）小题进行讨论

思路1：由于[a+b+c=0，abc=1，ab+bc+ca]都是熟悉的轮换对称式，如何从已知单项的和构建出交叉乘积的和成为解题的关键，联想到代数式的乘积（完全平方）运算可以产生交叉乘积项，从而解决问题.

解法1：因为[a+b+c=0，]

所以[a+b+c2=0，]

即[a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0.]

所以[ab+bc+ca=-12a2+b2+c2≤0.]

因为[abc=1，]

所以[a≠0，b≠0，c≠0.]

所以上式等号不成立.

故[ab+bc+ca<0.]

思路2：减少变元化简代数式，根据式子特征，通过配方，利用平方的非负性解决问题.

解法2：因为[a+b+c=0，]

所以[a+b=-c.]

所以[ab+bc+ca]

[=ab+a+bc]

[=ab-a+b2]

[=-a2+ab+b2]

[=-a+b22-34b2]

[≤0.]

因为[abc=1，]

所以[a≠0，b≠0，c≠0.]

所以上式等号不成立.

故[ab+bc+ca<0.]

思路3：减少变元化简代数式，利用函数思想，将问题转化为二次函数根的问题求解.

解法3：因为[a+b+c=0，]

所以[a+b=-c.]

所以[ab+bc+ca]

[=ab+a+bc]

[=ab-a+b2]

[=-a2+ab+b2.]

令[fa=-a2+ab+b2.]

显然关于a的二次函数开口向下，

判别式[Δ=b2-4b2=-3b2<0，] 即对应的二次方程[fa=-a2+ab+b2=0]无根.

所以二次函数[fa=-a2+ab+b2]的最大值小于0.

所以[ab+bc+ca<0.]

思路4：减少变元化简成一元函数，利用函数的单调性求解.

解法4：因为[a+b+c=0，abc=1，]

所以不妨设[c>0.]

则[fc=ab+bc+ca=1c+ca+b=1c-c2.]

当[c>0]时，显然关于c的函数是减函数，

所以当[c≥43]时，[fc≤143-163=-3223<0.]（这里先用第（2）小题的结论.）

所以[ab+bc+ca<0.]

2. 对第（2）小题进行讨论

思路1：减少变元，保留最大的变量，由于条件中的两个等式，一个是三个数的和，一个是三个数的积，联想到两个变量的和与乘积的不等关系，可以实现和积互化，从而达到消去变量的目的. 可以是和向积转换，也可以是积向和转换，进而有如下两种解法.

解法1：因为[a+b+c=0，abc=1，]

不妨设[c>0，b<0，a<0，]

所以[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c，] 当且仅当[a=b]时取等号.

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

则[maxa，b，c≥43.]

解法2：因为[a+b+c=0，abc=1，]

不妨設[c>0，b<0，a<0.]

所以[1c=ab=4-a-b4≤2-a-b+-a2+-b24=c24.]

当且仅当[a=b]时取等号.

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

则[maxa，b，c≥43.]

思路2：消去一个变量，整理方程后发现方程左边是二次三项式，将a看为主元，构成一个一元二次方程，利用方程的有解性求解.

解法3：因为[a+b+c=0，abc=1，]

不妨设[c>0，b<0，a<0.]

所以[a+1ac+c=0.]

化简得[ca2+c2a+1=0.]

显然关于a的一元二次方程[ca2+c2a+1=0]有负根.

因为方程的常数项为1，二次项系数[c>0，]

所以如果有根两根一定小于0.

所以[Δ=c4-4c≥0.]

因为[c>0，]

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

则[maxa，b，c≥43.]

思路3：由于最大的一个量可以用另外两个的和与积来表示，联想到二次方程根与系数的关系，从而构造二次方程求解问题.

解法4：因为[a+b+c=0，abc=1，]

不妨设[c>0，b<0，a<0，]

所以[a+b=-c，ab=1c.]

所以[a，b]是一元二次方程[x2+cx+1c=0c>0]的两个负根.

所以[Δ=c2-4c≥0.]

所以[c3≥4，] 即[c≥43.]

则[maxa，b，c≥43.]

思路4：从反面分析问题，利用反证法求解问题.

解法5：因为[a+b+c=0，abc=1，]

不妨设[c>0，b<0，a<0.]

假设[c<43]，

则[c=-a-b≥2-a-b=2ab=2c>243=43.]

与假设矛盾.

所以[c≥43，]

即[maxa，b，c≥43.]

三、反思和启示

1. 落实基础知识和基本技能是培养学生运算素养的根基

运算素养的培养要以数学基础知识和基本技能为基础，数学运算中涉及的一些运算概念、法则、定律，以及成立的条件等都是基础知识和基本技能，在日常教学中应该得到强化. 如果没有必要的基础知识和基本技能的积累，学生在解题过程中就很难进行分析与综合、归纳与演绎、类比与迁移等数学思维活动. 章建跃博士认为，数学思想、数学方法为数学中深层的基础知识，为解决问题时的思维策略.

例如，此题中涉及的配方法，要能够将二次三项式合理拆分，配成非负数之和，要熟悉二次方程中根与系数的关系，能够通过它构造出二次方程，要清楚一元二次方程的根存在的条件. 再如，对于基本不等式，[a，b∈][R*，a+b≥2ab，] 当且仅当[a=b]时取等号，学生必须清楚其中蕴含的三个方面的内涵：一是不等式成立的条件为a，b都是正实数，因此，要将题目中的量转换成正数[-a，-b∈R*]才能使用此不等式;二是不等式[a+b≥2ab]的结构形式非常重要，能够实现和与积的转换，但是是不等的转换;三是等号成立的条件，只有能够取到等号，结论才能是[maxa，b，c≥43.]

2. 发展学生的数学思维是培养其运算素养的保障

数学学科核心素养体现了用数学思维和方式观察、分析世界. 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程，有效、有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想;数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需要研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式. 可见，数学运算和逻辑推理素养的重要性，故培养学生的数学思维能力是发展其数学学科核心素养的保障.

数学对象M称为n元数学对象， 是因为数学对象M由n个元完全确定，并且减少这n个元中的任何一个，数学对象M就不确定. 由此可见，数学对象的元及元数与数学对象的“确定性”之间的关系，这是我们认识数学对象的元及元数的重要标准. 在数学运算的过程中，发现数学对象中的元及其之间的关系和数学思维的起点，以及“元化”是解决问题的重要手段. 此题的对象[ab+bc+ca]中有三个变量，但是这三个变量由两个关系来限制，还缺一个关系就能确定，“元数”是1，因此可以化归到只有一个可变的主元来求解，在解法中消去一个元后，将a看作主元，b看作参数，就自然地形成了关于a的二次函数[fa=-a2+ab+b2，] 进而用二次函数求最值的方法解决了问题. 对于第（2）小题同样将方程[ca2+c2a+1=0]中的a看成主元，就能够将问题转换成一元二次方程有根的问题进行求解. 正是由于进行“元化”处理，才会有后面利用函数方程的思想来解决问题，充分体现了数学思维的深刻性.

教学中要注重利用一题多解的教学来培养学生的发散性思维能力. 周春荔教授指出，一题多解，表明学生的思路广阔，使思维的发散性提高到了一个更高的层次或理论适用的各种问题，要扩大它的应用范围. 罗增儒教授指出，一个数学问题，只有在得出两个或多个解法之后，才会对问题的实质有真正的了解，才能体会不同的思维所引起的不同运算方式，学生的运算能力在不同的思维中得以比较，能够提升学生对常规习题的运算能力. 引导学生对一个问题或对象从多方面考虑、多角度观察，将多个对象相互联系进行思考，类比归纳、抽象概括等，从而抓住问题的本质特征和特殊条件，进而找到解决问题的突破口. 由于学生的思维品质是不同的，一题多解扩展了学生的思维空间，进而提升了整体的教学效果. 就上述题目来讲，题干中给出的是三个变量，只有两个确定的关系，可以转化成关于某个主元的问题求解，这就是问题的本质，消去一个元或者两个元后，可以用函数方程的思想方法求解. 同时，发现这个关系一个是和、一个是积，这是两个特殊条件，正好对应于基本不等式中出现的和与积的这种结构，进而通过联系类比找到新的解法. 从思维的层面来看，还可以逆向思维，从反面考虑发现可以利用反证法解决问题.

参考文献：

[1]章建跃. 数学思维方法[J]. 中小学数学（高中版），2015（4）：封底.

[2]郭慧清. 元在数学教学中的地位与作用[J]. 数学通报，2006，45（5）：26-29.

[3]周春荔. 数学思维概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]罗增儒. 解题分析——人人都能做解法的改进[J]. 中学数学教学参考，1998（7）：29-30.

收稿日期：2020-09-19

作者简介：汪卫先（1972— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.