初中数学阅读课教学的实践与思考

摘  要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一. 沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体. 这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分. 文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.

关键词：数学阅读;数学交流;实践与思考

《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径. 数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构;数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等;数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程. 可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.

沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野;激发兴趣，发展思维;培养爱国主义思想，增强民族自豪感;加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力. 值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中. 一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”;另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系. 我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决. 这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育. 同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量;用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作;至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）. 为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.

一、教学实践

“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展. 希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界;同时，在数学问题解决过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性. 对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.

1. 泛读——初步感知

泛读是本节课的准备阶段. 通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系;同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫.

2. 通读——问题展示

通读是整体感知阶段. 通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点. 为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究. 这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.

以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：① 圏划你认为重要的部分;② 记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方;③ 比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系. 学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法. 通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系. 由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问. 例如，下面是一些学生的疑问.

生1：如何用向量方法证明几何问题？

生2：如何选取合适的向量？

生3：向量关系与几何关系如何转化？

生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多.

3. 精读——问题解决

精读是本节数学阅读课的核心环节. 数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性. 当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义. 这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破. 这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果. 以下为节选的部分小组交流片断.

第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论. 向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.

第二组：我们分析比较了例1中的解法. 例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO = OC，DO = OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”. 首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一個是方向. 已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出[AO+][OB=AB]，[DO+OC=DC]. 相等向量所在的有向线段DC = AB，这是数量关系. 还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB = DC，然后再回到几何证明.

第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态. 由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.

第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁. 用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.

可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”雙重特征的理解. 期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.

4. 解读——巩固练习

解读是检验与完善的阶段. 在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.

以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.

已知：如图3，四边形ABCD是平行四边形，CN = AM，AE = CF. 求证：四边形NEMF是平行四边形.

考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究. 以下是学生的交流片断.

生1：根据已知条件，作[EA， AM， EM， CF，] [NC， NF]. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB平行且等于CD. 因为CN = AM，所以[AM=NC]. 因为AE和CF在同一直线上，且AE = CF，所以[EA=CF]. 所以[EA+][AM=][CF+NC]，即[EM=NF]. 所以EM∥NF，且EM = NF. 所以四边形NEMF是平行四边形.

5. 延读——拓展延伸

阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合. 一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升;另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.

以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.

阅读下列材料，并完成证明.

我们知道，两个相同的实数[a]相加，结果为[2a，] 即[a+a=2a]. 那么两个相同的向量[a]相加，是否也有类似的结果呢？即[a+a=2a]吗？

如图4，已知向量[a]，在平面内取一点O，作向量[OA=a]，[AB=a]，由向量加法运算法则，得[OB=a+a].

同时，我们不难看到：向量[OB]的方向与向量[a]的方向相同，向量[OB]的长度是向量[a]的长度的2倍，即[OB=2a]. 我们把这样的向量[OB]记为向量[2a，] 即[OB=2a].

由上可知，[2a]表示这样的一个向量，其方向与向量[a]的方向相同，且长度是向量[a]长度的2倍. 类似地，[3a]表示这样的一个向量，其方向与向量[a]的方向相同，且长度是向量[a]长度的3倍.

那么，[32a]表示为________ ;[12a+b]表示为________ .

反过来，如果[MN=2PQ]，则意味着[MN]和[PQ]平行（或共线），且[MN=2PQ].

上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理. 请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.

求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

已知：如图5，点E，F分别是边AB，AC的中点. 求证：EF∥BC，[EF=12BC].

该作业的主要任务是开展“拓展阅读”. 学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理. 其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力. 在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.

二、几点思考

1. 阅读课的目标定位

读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标. 数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用. 这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中. 在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法;还能在阅读和思考过程中不断产生疑问. 例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.

2. 阅读课的主体定位

数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位. 在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论. 学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流. 这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.

3. 阅读课的方式定位

数学阅读课的学习方式通常是开放式的. 数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的. 开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果. 另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.

4. 阅读素材的选择

各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神;通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.

随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料. 以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的. 即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习. 通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.

5. 阅读课的评价方式

不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式. 笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.

（1）课堂评价.

学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势. 在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的. 在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.

（2）作业评价.

傳统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一. 如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.

优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容;在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用;解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流;能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.

良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确;解题过程基本正确;能用较为规范、简洁的语句进行交流;能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.

合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确;有解题过程，但解答存在一定错误;能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单.

6. 阅读课的局限性

（1）不同学生的差异.

不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生. 笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃;但是对于学困生却不一定有帮助. 虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低. 没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.

（2）阅读时间的把握.

确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点. 阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值;阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果. 这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设. 另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程. 学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.

参考文献：

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[3]谷荷莲. 高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例[J]. 数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.

[4]朱纪英. 初中数学阅读教学有效性研究与实践[D]. 上海：上海师范大学，2012.

收稿日期：2020-08-15

作者简介：罗佳骏（1984— ），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.