多元变式在数学单元后建构课中的应用

摘  要：在“解直角三角形”单元后建构教学中，基于对教材的理解，调整教学顺序，以问题为主线，精选条件变式、创设情境变式、拓展图形变式，呈现教学流程、效能分析及教学建议，指出单元后建构中变式要以学生的学习为主体、书本范例为载体、核心内容为基础、能力提升为目标.

关键词：多元变式;单元后建构;解直角三角形;数学模型

一、问题提出

后建构课堂是指在后建构主义理论指导下，在新知识教学结束后，帮助学生建构知识结构和认知结构，感悟知识价值和思想方法的课堂. 其目的在于运用后建构主义理论设计各种教学策略，引发学生主动建构知识结构的意识，指导学生建构认知结构的方法，进而逐步感悟知识价值和其中蕴涵的数学思想方法. 后建构课堂主要有综合与实践、章尾课、单元复习、专题复习等课堂形式. 后建构课堂是课堂教学活动的高级形式，相对于新授课堂而言，在思维方式的训练、思维品质的形成、数学素养的培育上具有质的不同. 它不再仅仅满足于学生对知识的简单复习和应用，而是更注重学生对知识的整体建构和深入理解，更加关注对学生数学学科核心素养的培育. 单元后建构课不是简单的知识重复，它具有知识的系统性、方法的应用性、能力的综合性等特点. 因此，教师要在有限的课堂时间内从单元教学的核心知识出发，让学生延伸知识脉络、拓宽解题技巧、提升解题能力，但这并非易事. 在实际教学中，有的教师或者用一本复习资料“打天下”，或者根据教学经验面面俱到地堆砌知识，要么以强化练习代替单元后建构. 这样的单元后建构课是否有效呢？学生能否基于核心知识有效提升能力？答案显然是否定的.

为此，笔者将目光投向了变式教学，不断变更核心知识的问题情境或改变学生的思维角度，使得核心知识的非本质属性不断迁移，以揭示其本質属性，从而以明确本质、外延变化方式的特点来提高单元后建构课的有效性. 下面，笔者以一节“解直角三角形”单元后建构课为例，来探索如何利用变式教学提高单元后建构课的效能.

二、教法分析

“解直角三角形”是苏教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）九年级下册第7章第5节的内容. 本节课要求学生能综合运用前面所学知识，通过添加适当的辅助线来构建直角三角形，从而解决较为复杂的实际问题. 配套的教师教学用书中给出的教学思路为“提出实际问题—引导分析问题（提炼有效信息）—建构数学模型—得出结论”. 那么，如何使学生更容易理解数学模型这一核心知识呢？如何使学生对数学模型的理解更为透彻、研究更为深入呢？这些都成了备课的难点. 经过研究教材，笔者决定改变教师教学用书中给出的教学顺序，先给出基本模型，再转化成基本模型的变式，让学生从变化的条件中体会本节课核心知识的不变性，从不变的知识中体验数学思想方法，最后让学生在核心知识的基础上搭建丰富的实际问题情境，让学生学会举一反三，进而培养学生的创新能力，优化学生的思维品质.

三、教学流程展示及复习效能分析

1. 精选条件变式，一图多问，认识数学模型，引导方法探索

（1）变式展示.

例  如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [∠B=45°，] [AC=2. ]求BC和AB的长.

变式1：如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [BC=2，] [AC=2. ]求∠B的度数和AB的长度.

变式2：如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [∠B=45°，][AB=5. ]你会求AC，BC吗？

（2）教学流程.

教师先给出典型例题（已知两角一边），师生共同探究，通过添加适当的辅助线来构建直角三角形. 如图2，过点C作CD⊥AB，将问题放在Rt△ACD和Rt△BCD中后，在已有的知识经验“直角三角形中，已知两边或一角一边 ，就可以解直角三角形”的基础上，学生很容易利用锐角三角函数来解决问题. 教师顺势将例题的条件变化为变式1（已知两边一角）. 由于有了例题的启发，学生自然而然想到了构建直角三角形来解决问题. 在解决变式1的基础上，教师进一步启发：在任意的三角形中，如果已知两角一边或两边一角，可以解出其余的边和角吗？进而丰富学生的认知体验.

接着，教师给出变式2（已知两角一边）. 由于有前面解决问题的知识经验做铺垫，学生信心十足. 部分学生能主动添加辅助线，辅助线作法同图2，得到了Rt△ACD和Rt△BCD，再从公共边CD入手思考问题. 要求AC和BC的长，必须先求出CD的长. 设CD = x，列出关于x的方程[3x+x=5]. 这时学生对解任意三角形知识的理解又深入了一步，明白“当有些量不能直接求时，可以设中间量过渡”. 最后，教师让学生观察，虽然这组变式中问题的条件变化了，但是所用数学方法的本质属性没变.

（3）效能分析.

以上变式符合学生的认知规律，基于教材又跳出了教材，由浅入深，环环相扣，揭示了数学模型的本质特征. 教师通过对例题的条件进行变式和推广，引导学生拓展问题解决的方法，拓宽学生认识问题的广度，更为重要的是让学生尝试运用类比进行科学发现. 在问题解决的过程中，通过条件的变式让学生由浅入深、步步深化，透过现象看到了数学本质，帮助学生迈出了认识数学模型的第一步，发挥了变式教学的最大功效，从而提高了课堂的容量和复习的效率.

（4）教学建议.

通过对范例实施变式，围绕方法的本质属性，进而优化解法，培养学生思维的广阔性和灵活性.

教师应做到：在学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、点拨;对所用到的解题方法、规律加以梳理、概括，纳入知识方法体系;对研究问题的方法加以总结，使学生掌握科学研究问题的方法.

学生应努力做到： 自主探索解法，解决问题;探索多角度思考问题、多渠道寻求解决问题的方法;相互交流，相互启发，扩大探索成果;自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能.

2. 创设情境变式，一图多用，提炼数学模型，串联知识网络__________

（1）情境展示.

情境1：（方向角问题）如图3，要在A，B两地修建一条5千米长的公路，在A地北偏东60°，B地北偏西45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊，问公路是否会穿过湖泊？

情境2：（仰角、俯角问题）如图4，有一氢气球悬在空中，两名同学想知道其升空的高度，甲在A处测得其仰角为30°，乙在B处测得其仰角为45°，甲乙两人之间的距离为5千米，求气球的高度.

情境3：（坡度、坡角问题）某大坝横截面如图5所示，斜坡AC的坡比[i=1∶ 3]，斜坡BC的坡比i′ = 1∶1，已知坝底AB的长为5米，求坝高.

情境4：（速度、时间问题）如图6，某号台风中心自西向东移动，经测速度为1千米 / 时，5小时内从A地到B地，台风中心移动时要求1.8千米范围内均要做“防台风”措施，问：在A地北偏东60°，B地北偏西45°方向的村庄C是否要做“防台风”措施？

（2）教学流程.

教师创设典型的实际问题情境，让学生根据相关文字信息自主提炼出数学模型. 结合例题变式2的解题经验，学生能很轻松地知道情境问题的实质就是求点C到AB的距离（即图2中的CD），然后比较CD与湖泊半径的大小. 教师通过点评学生的方向角转化方式，让学生进一步明确方向角的转化方法. 接着，教师给出情境2. 在解决实际情境问题的过程中，学生进一步明确了数学模型的本质，教师对仰角、俯角的概念也进行了简单地梳理. 再通过情境3帮助学生归纳有关坡度、坡角类实际问题的解决策略和方法. 最后，教师创设了某台风登陆的问题情境（情境4），让学生在台风速度、台风经过时间、台风经过路程、台风的方位角之间的转化中，将所用的知识串联起来，从而较为顺利地解决问题，加深了学生对基本数学模型的认识，使学生掌握了从复杂的实际问题中提炼数学模型的能力.

（3）效能分析.

这一组基于统一数学模型本质的情境变式，发挥了变式的作用，让学生的思维始终处于新的情境之中. 在这些变化的情境中，汇集了大量的数学信息，将方向角、仰角、俯角、坡度、坡角等数学知识串联起来，帮助学生理解知识之间的联系，收到融会贯通的效果. 同时，让学生在这一系列情境的启发下，由知道“为什么要变”“如何变”逐步发展到“我会变”“我要变”. 学生在将已有的知识经验巧妙地转化到数学模型的过程中，对实际问题的认识也更为深刻，更触及数学本质.

（4）教学建议.

单元后建构课的重要任务之一就是回顾单元相关的知识内容，使学生重温知识之间的内在联系，建立知识结构，为创新学习打下坚实的知识基础.

教师应做到：选取有针对性的、启发性的问题情境，引导学生对相关知识和概念进行回忆，激发学生的复习兴趣;引导学生建立知识结构，使之系统化.

学生应努力做到：主动参与、积极回顾、探究所学知识之间的内在联系;建立脉络清晰的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到提升.

3. 拓展图形，一图多变，搭建数学模型，提升创新能力

（1）图形变化.

如图7，A，B两地修建3千米的公路，在A地北偏东60°，B地北偏东45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊，问公路是否会穿过湖泊？

学生解决此题后，教师变化此题中方位角的表示方法，给出图8.

（2）教学流程.

教师从简单的数学模型和典型的问题情境出发，在基本条件和实际问题不变的情况下，给出了不同的方向角. 学生首先通过自主画图将文字语言转化为图形语言，发现图形发生了变化，与学生已有的图形认知产生冲突. 教师提出问题：将30°角和45°角放在哪里能更好地利用它们？学生自然想到直角三角形，进而容易知道构造直角三角形的方法. 教师出示图8，再次让学生感受数学方法本质的不变性. 教师提出：如何利用图8的基本模型搭建一个合理的问题情境呢？学生思考片刻后，都跃跃欲试，给这一数学模型赋予了丰富的问题情境. 其中，有一名学生给出了如下情境：海上有一灯塔P，它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里 / 时的速度自西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西45°方向，问客轮不改变方向继续前行是否有触礁的危险？最后，教师对学生提出的问题情境做了点评，让学生更深入地掌握了问题情境和数学模型之间相互转换的方法.

（3）效能分析.

以上变式是从一个有关解直角三角形的简单题目出发，进行的一系列图形变化. 学生在情境变式的基础上，对变化的数学模型独立地提出类似的情境问题. 在这个过程中，学生对解直角三角形的数学模型及其实际应用等相关问题进行了深入了解，在通过自主搭建将数学模型迁移到实际问题的情境过程中，激活、拓宽了学生的思维，使得学生对数学模型有了更深的认知，使学生逐步提升类比和概括的能力. 这一过程优化了学生的思维品质，拓宽了学生的思维领域，有效地训练了学生思维的灵活性.

（4）教学建议.

单元后建构课所说的“变式”，与新课教学模式中所谈的“变式”相比，其特点是“深、广、新”，即知识渗透深、方法应用广、能力创新.

教师应做到：适时引导点拨，指引探索方向，激发学生“变”的内在需要;积极诱导，激发学生创新的热情;及时评价鼓励，培养学生的探索精神和勇气.

学生应努力做到：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思考，最大限度地探索题目的各种变式.

四、单元后建构课中实施变式教学的注意点

1. 变式要以学生学习为主体

單元后建构过程是一个信息交流的过程. 在这一过程中，学生是主体. 首先，教师应该把学习的主动权交给学生，发挥学生的主体作用，使学生由被动变为主动. 当然，尽管强调学生的自主性，但是并不等于不要教师讲，教师适时的点拨还是必不可少的. 其次，教师应该根据所教班级学生的学情，采取不同难度、不同的变式方法，以更适应学生的接受和理解能力，也是为了更好地展示以学生为主体的学习方式. 再次，教师还要适当“留白”，留给学生思考的空间与时间，让学生自我尝试变式探究，从而真正突出学生的主体地位.

2. 变式要以教材范例为载体

教师给出的范例应该成为单元后建构课中进一步变式的载体. 因此，教师必须选择好范例，把范例的选择与变式的目标和变式的方式有机结合起来，使之相互补充，相得益彰，并不是教材上的所有例题都可以作为变式的典型范例. 范例的选择，首先，应针对复习单元的内容和要求;其次，对单元知识的应用、方法的训练、思想的提升都应该有所帮助，且让学生容易接受;最后，例题必须具有延展性和灵活性，以便师生可以进一步对范例实施变式.

3. 变式要以核心内容为基础

在单元后建构课实施变式教学，首先，应该围绕数学核心知识，从核心知识出发，通过变式把相关、相近的知识变成一个系列或主题，把原本零散的知识串联成一个整体;其次，必须要围绕数学核心思想方法，对问题进行深化、拓展，进而达到用一个理念、一种方法、一种思想串联题目的境界，以揭示变式题中蕴含的数学本质，从而把问题、知识、方法、思想放在一个系统内，进行认识、梳理、整合，达到融会贯通，完成复习内容从厚到薄的过程.

4. 变式要以能力提升为目标

在单元后建构教学中，教师要加强数学思想方法的教学. 首先，教师不仅要提高学生运用所学知识解决问题的能力，而且要培养学生的创新能力，发展学生的求异思维. 因此，对于问题的不同形式，在复习过程中应该从感性走向理性，通过改变提问的角度来发展学生的发散思维，便于发展学生的问题探究能力. 其次，在变式设计中，若能在学生常规思维的基础上设计一些逆向发散思维训练的变式，既能达到去伪存真，又能训练学生的发散思维，提升他们的创新能力.

在单元后建构课的教学中，合理地进行多元变式，不仅有助于学生掌握知识，挖掘其中蕴含的规律和联系，再通过比较、归纳、延伸，还能有助于学生发现问题的本质，培养学生的思维能力和信息迁移能力.

参考文献：

[1]耿锦铭. 多元探索  归类建构：以规律探索型试题解析为例[J]. 中学数学教学参考（中旬），2020（9）：24-26.

[2]孫霞. 运用“概念性变式”促进本质建构：以“一元一次方程”的教学为例[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（6）：28-30.

[3]陈锋，薛莺. 从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J]. 中学数学教学参考（中旬），2013（4）：16-18.

收稿日期：2020-07-28

基金项目：江苏省第十三期重点课题——指向学科核心素养的数学“后建构”课堂设计研究（2019JK13-ZB16）;

江苏省教育科学“十三五”规划课题——指向初中数学核心概念主动建构的教学研究（C-c/2016/02/02）.

作者简介：薛莺（1981— ），女，中学高级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.