巧用数形结合法解答高考题

陈上太

摘 要：在高中数学中，数形结合思想是重要的数学思想和常用的解题策略，本文主要分析数形结合法在历年来全国各地的一些高考试题中的应用，如集合问题、函数最值问题、方程问题、不等式问题、三角函数问题、复数问题等。

关键词：数形结合;高考题;思想方法

数形结合是数学四大思想方法之一，著名数学家华罗庚曾经写过一首词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合​百般好，割裂​分家万事非，切莫忘，代数几何统一体，永远联系，切莫分离。”短短数语，道出数形结合的重要性。数是形的抽象概括，形是数的直观表现，我们时常用抽象的函数来描述图形的特征，同时又用直观的图形性质来说明数量关系。

在高中数学中，数形结合是重要的数学思想和常用的解题策略，能丰富及完善解题理论，促进学生对数学知识的掌握，落实新课标要求，收到事半功倍的效果。下面结合笔者自身的教学实践经验，分析数形结合法在历年来全国各地的一些高考试题中的应用。

一、集合问题

解答集合的交、并问题或包含与被包含问题，如果能借助韦氏图把它们的关系表示出来，则问题可得到直观的解答。

例1（1995全国卷）已知I为全集，集合M、，若，则（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解：由已知得集合M、N、I的关系如图（1），所以，即，故选（C）

例2（1996全国卷）已知全集I=N，集合，，则（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解：由题意可知，则I、A、B的关系如图（2），显然成立，故选（C）。

二、函数的最值问题

对于抽象函数的最值问题，如果用代数推理方法解答则较繁琐，但如果根据函数的性质，作出抽象函数的图像，便能化繁为简。

例3（1991全国卷）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（ ）

（A）增函数且最小值为-5  （B）增函数且最大值为-5

（C）减函数且最小值为-5  （D）减函数且最大值为-5

解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）在区间[3，7]和[-7，-3]上的图像关于原点对称，如图（3），故应选（B）

三、解答一元二次方程根的分布问题

利用函数来讨论方程根的范围，把根的分布问题转化为研究函数图像的位置问题，也可以使复杂的问题得到直观的解答。

例4（1993全国卷）已知关于x的实系数二次方程有两个实根，证明：（1）如果，那么且;

（2）如果且，那么。

分析：问题等价于证明：且

令，如图（4），欲使f（x）=0的两根在区间（-2，2）内的充要条件是：

且.

四、解答含有参数的方程问题

把方程经过适当的变形，构造两个常规函数，通过观察函数图像的交点情况，直观解答与对数方程、无理方程等有关的问题。

例5（1989全国卷）已知a>0且a≠1，试求使方程有解的k的取值范围。

解：由，

得

令，令，

即

它们的图像如图（5），由图像可以看出，要使两曲线有交点，须满足或，即或。所以当时，原方程有解。

五、解含有参数的无理不等式问题

用代数方法解含参数无理不等式，一般情况下，既要分类讨论，又要把无理不等式转化为有理不等式，运算过程十分繁琐。如果能把不等式转化为两个常规函数，通过观察两个函数图像位置关系，直观得到不等式的解集，则可把繁琐的问题简单化。

例6（2000年全国卷）设函数，其中，解不等式。

解：由，得

令，，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，前者为实虚半轴的长均为1的等轴双曲线的上支，后者为过点（0，1）、斜率为正数a的直线（如下图）

当时，由图（6），令，解得，不等式的解集为;当a≥1时，由图（7），不等式的解集为。

六、求非常规方程的根的个数

由方程构造函数，把求方程的根的个数转化为求曲线交点的个数，是求非常规方程的根的个数最常用的策略。

例7（1988上海卷）方程sinx=lgx实根有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个

解：分别作出y=sinx及y=lgx的图像，如图（8）两个图像有点的条件是：lgx≤1，即0

图（8）可看出两个图像有3个交点，即方程有3个解，故应选（C）。

七、三角函数问题

借助三角函数图像解答三角函数问题，可以使问题得到直观、简捷的解答。

例8（1990全国卷）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解：作出y=sin2x和y=sinx的图像，如图（9），可知两曲线有3个交点，即方程有3个解，故应选（C）。

八、利用复数的几何意义解题

高中数学对复数的要求比较简单，仅需掌握复数的四则运算和了解复数的几何意义。灵活运用几何方法有时候可使复数问题得到直观、简捷的解答。

例9（1994全国卷）如果复数z满足，那么的最小值是（）

（A）1 （B） （C）2 （D）

解：如图（10），表示线段AB，表示线段AB上的点与点间的距离，，故应选（A）。

通过以上例子可以看出，数形结合备受高考命题专家青睐，我们在教学过程中应该有意识地渗透这一思想，加深学生对数学概念的理解，提高综合解题能力。

参考文献

[1]唐加俊.活用数形结合解题[J].中学数学教学参考，2005（9）：29-30.

[2]彭再云，唐平.数形结合思想在高考数学中的应用浅析[J].教育教学论坛，2013（5）.

[3]邱春来.数形結合的应用及误区[J].福建中学数学，2004（2）.