高中阶段的函数零点问题探究

摘 要：在高中数学教学中，函数的零点问题是一个重要的考察对象，是高考中的常考题型。函数的零点是沟通函数，方程和图像的重要桥梁，其中渗透着很多数学思想方法，如，等价转化思想，数形结合思想，函数与方程等思想。是一个考察学生能力的重要知识点。经过多年的积累，其考查形式逐渐多样化，全面化。要想很好的解决此类问题，熟练掌握试题的类型，解题的技巧尤为重要。解决这类题目都离不开以下几中等价关系：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数解函数y=f（x）的图像与x轴有交点。常见的变式为：有零点方程组有实数根与y2=g（x）的图像有交点.

关键词：高中数学;零点问题：等价转化思想，数形结合思想;函数与方程

函数的零点问题主要有四类：

1.直接计算函数零点：

函数的零点即函数的图像与x轴交点的横坐标，是一个数值，而不是点的坐标.

例1：函数的零点是__________.

解析：1和2由，得x=1或2，所以函數的零点为1和2.

例2：函数的零点是________.

解析：-1和e3

当x≤0时，由，解得x=5（舍去）或x=-1，

当x>0时，由，解得x=e3.所以函数零点是-1和e3.

2.零点存在性定理判断函数零点的分布.

解决此类问题主要依据零点存在性定理;如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.但是零点的个数还需要结合函数的图像与性质才能确定.

例3：函数的零点所在的区间是（）

A.（0，1）  B.（1，2）  C.（2，3）  D.（3，4）

解析：B，，，因为，所以零点所在的区间为（1，2）.

例4：若，则函数

两个零点分别位于区间（）

A.（a，b）和（b，c）内       B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内 D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：A由题意，得，，显然，，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点.

3.数形结合思想判断函数零点的个数.

判断函数零点的个数可用定义法，也可以用几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例5：函数的零点个数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

例6：已知函数，且则方程的解的个数为________.

解析：3因为所以且，解得所以.在同一坐标系中作出函数与的图像，由图可知，方程的解有3个.

4.利用函数零点求参数的取值范围.

先给出函数零点的个数，再来求参数的取值范围.要解决此类问题根据函数有零点方程组有实数根与的图像有交点.

例7：已知函数，且关于x的方程有两个实根，则实数a的取值范围是_________.

解析：（0，1]令，得.在同一平面直角坐标系中作出y=f（x）和y=a的图像.由图可得，y=f（x）和y=a的图像有两个交点，故.

以上四种类型试题所用到的各种方法并不是完全独立的，而是相互联系的，利用等价转化，数形结合等思想把函数的零点问题转化成方程根的个数或者函数y=f（x）与y=g（x）的图像交点个数问题.从而达到化繁为简，事半功倍的效果.

参考文献

[1]陈芬艳.关于高中阶段函数教学的几点思考[J].数学教学通讯，2019（24）：28-29.

[2]江西高校出版社.当代中学生报[N].当代中学生报，2016

作者简介：马焕才、男、1987-10-19、汉、河南省商丘市睢县、硕士研究生、高中数学一级教师、现任职务：高一数学教师、研究方向：应用数学