APOS理论下的数学抽象素养及其培养

张丽鹃

摘 要：人们在使用、学习数学时，渐渐产生并发展了数学学科核心素养，其一般由五个方面的数学基本特征概括展现：一是价值观;二是立场;三是感情;四是关键能力;五是思维品质，它也是数学教育需要达到的主要目标之一[1]。数学学科核心素养的六个方面中，不论是对学生的发展还是学习，数学抽象是最为重要的。概念形成本身就是一个不具象的历程，因此主要针对数学概念教学的APOS理论构建主义学说对于数学抽象素养的培养极具推波助澜之力。所以，笔者遵循高中数学新课标的教学意见，坚持一切围绕学生自身发展，以优化传统教学模式为导向，将“方程的根与函数的零点”作为范例，讨论APOS学说中，重在数学抽象素养培养的教学设计。

关键词：高中数学;APOS理论;数学抽象;教学设计

一、APOS理论基本概述

APOS理论基于建构主义，主要用于解决两个方面的问题：一是了解学生通过何种方式学习;二是研究怎么样设计教学方案能够适应学生的学习方式，从而提高学生学习水平，美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）提出了这个理论，所提出的“四步法”教学模型，即：一是图示（schemas）;二是对象（objects）;三是过程（processes）;四是活动（actions），主要针对于数学概念学习的一种教学模型[2-3]。“活动”阶段主要是指学习者通过一系列的活动对新知进行具体感知。“程序”阶段主要是指学习者将初步具体感知的新概念抽象化，内化为一种特别的程序算法。“对象”阶段主要是指学习者进一步理解活动和过程，以更高的视角分析概念间的关系，能够自行根据程序构建类比程序。“图式”阶段是学习者对活动、程序、图式以及相关知识进行整合，以形成具体的认知框架[2]。

二、如何有效培育数学抽象素养

数学学科核心素养的六个方面中，数学抽象是最为重要的，高中学校授课常常围绕数学抽象开展，它是理性思维的基石以及数学的基本思想之一，实质就是使用抽象的形式，得到研究客体的素养，一般使用的形式有两种：一是空间形式;二是数量关系。数学抽象可分为弱抽象和强抽象，弱抽象即概念扩张式抽象，强抽象即概念强化式抽象[3]，具体应用到数学概念的课堂教学之中，弱抽象具体指通过对具体例子抽象归纳出共性，形成初步的概念模型，强抽象具体指对新概念的更深层次的理解[4-5]。

已有的研究表明，学生对数学概念的掌握过程就是数学抽象思维的发展过程，这种抽象思维具有较强的年龄规律，而高中阶段的学生恰好处于最佳的年龄阶段，因此，老师应该结合自己的教学经验，对关键期的教学给予更多的重视，促进学生数学抽象思维的良好发展。此外，老师要把握好以下教学策略。

（一）注重概念形成过程的教学

从数学教育心理学可以看出，数学抽象的培养需要一个过程：第一步，全面的感知事物;第二步，对本质特征进行简单归纳;第三步，符号表征;第四步，进行更加深刻的迁移、推演、归纳，这就是人们正确认识客观事物的规律。因此，老师在编写教学设计时，除了要把握一节课的整体性，还要注重每个教学环节，既要注重每個教学过程，保证每个环节的完整性，同时要保证环节与环节之间的连贯性。

（二）加深概念理解

每个数学概念都是数学抽象的产物，因此，数学概念是数学抽象培养的关键点。因此，老师可以运用问题导向，将问题设计环环相扣，避免学生领会概念出现过于狭窄的情况，深化概念，在对所学新概念归纳出一般特征之后，进而要构建知识结构，加强数学知识的联结性，形成知识体系。

（三）强化概念的具体运用

强化实践过程中概念的使用，将感到不具象的概念使用在实践中，这不仅对学生个人的发展至关重要，同时对我们整个社会的发展也是至关重要的。概念教学不仅要重视从不同事物中抽象出共性得出新概念，同时也要重要用新概念解决具体的实际问题。实践是检验真理的唯一标准，当我们学到一个新的东西，不加以应用，就不能感受其精髓，同时也不能实现其价值。此外，根据“以人的发展为本”，也应该鼓励学生学以致用。

三、基于APOS理论的重在数学抽象素养培养的教学设计

（一）课例背景

“方程的根与函数的零点”在近几年的高考中历次出现。课程内容知识点主要包括：一是函数的概念与性质;二是一次函数;三是二次函数;四是指数函数;五是对数函数，课程使用实例用以加深学生对于函数建模方法以及过程的认知，课程将集中讨论两个方面问题：一是函数零点的概念;二是零点的求法，其蕴含的函数与方程、数学抽象等数学思想，三个方面的数学方法：一是归纳类比;二是形数结合;三是分类探讨，三个方面的数学思维：一是从特殊到一般;二是从具体到抽象;三是从抽象到具体。教学难点有一个：零点的确定。教学重点有两个：一是函数零点的概念;二是零点的求法。

（二）教学过程

基于APOS 理论、数学抽象素养和本节课的分析，本节课的设计过程如下： 感知情境，引出概念; 数形结合，深化概念; 学以致用，巩固新知; 迁移创新，拓展延伸; 应用举例，加深巩固。其中，“弱抽象”环节是数形结合，深化概念; “强抽象”环节是学以致用，巩固新知; “二次强抽象”环节是迁移创新，拓展延伸和应用举例。

1.活动（actions）阶段——创设情境，引出概念

首先，给定二次函数与其对应一元二次方程，要求学生根据给定内容，进行作图和求解，并注意对应方程、x轴交点、函数图象之间的联系。

接着，提出猜想，是否所有函数图象都满足此关系，变换二次函数，引领学生动手作图，分组探讨函数图象与x轴的交点与其对应一元二次方程的根的关系，探其原由，并让学生主动分享小组结论，教师予以补充完善。

最后，抛出零点概念，引导学生理解函数零点与方程根的关系。

设计意图：根据APOS理论活动阶段教学，教师以求解方程的根和函数与x轴的交点为切入，让学生经历动手操作、观察猜想、合作探讨、分享交流四阶段教学活动，使学生对函数图象与x轴的交点和对应方程的跟的关系拥有直观体验。这不仅有助于学生进一步理解函数零点与方程根的关系，还能够有效激发学习积极性，引导学生探索知识的主观能动性[6-7]，在学习中得到心理满足，让他们深度参与到授课过程中，为课堂的深入展开埋好伏笔。

2.程序（processes）阶段——数形结合，深化概念

（1）零点的求法

经过活动阶段，顺水推舟，如果方程没有实数根，x轴和函数图象就不会有交点，函数不存在零点。也就是说，函数的零点与方程的根以及函数图象与x轴的交点密切相关，这里带领学生归纳出，当直接求零点有困难时，可以转向与之有关联的“函数图象的交点”和“方程的根”，进一步归纳，得出函数零点的求解方法，函数y=f（x）存在零点函数y=f（x）的图象与x轴有交点（几何法）方程f（x）=0有实根（代数法）。

（2）判定二次函数零点个数

首先，老师用ppt呈现反比例函数、二次函数、一次函数、对数函数以及指数函数的函数图象，引导学生观察函数图象，从函数图象与x轴的交点个数出发，引导学生发现反比例函数、指数函数的函数图象与x轴没有交点，对数函数、一次函数的函数图象与x轴有一个交点，但二次函数图象与x轴的交点情况有三种。

接著，老师提问：怎么判定二次函数的零点到底有几个呢？

然后，老师带领学生用“代数法”探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点。这里让学生回忆起一元二次方程的根的求法中重要的△，知道了△，便可知一元二次方程的根的情况，函数零点和方程的根又存在关联，这样就获取了函数零点的情况。

设计意图：这一环节是对新概念“弱抽象”。借助已学基本初等函数的图象，从知识和方法两方面引导学生，让学生以新视角观察已学知识，对零点的认识从具体上升到抽象，在脑海中形成能准确识别函数零点的“程序”，运用活动阶段探究的零点概念建构程序，又运用程序阶段对概念进行加工生成对相应的“算法”（若函数是二次函数，算法即是借助△判定），反作用于零点个数的判定[8]，这样前呼后应加深对函数的零点的理解，同时也做到温故而知新。

3.对象（objects）阶段——学以致用，巩固新知

首先，让学生判定二次函数f（x）=x2-2x-3的零点个数。（运用程序过程的“算法”），随后给出二次函数f（x）=x2-2x-3的图象，引导学生做以下工作：

（1）计算f（-2）、f（1）、f（2）、f（4）;

（2）将f（-2）·f（1）与0作比较，函数f（x）=x2-2x-3在区间[-2，1]上有无零点？

（3）将f（2）·f（4）与0作比较，函数f（x）=x2-2x-3在区间[2，4]上有无零点？

（4）将f（-2）·f（4）与0作比较，函数f（x）=x2-2x-3在区间[-2.4]上有无零点？

学生可以取得结论：当函数值的乘积小于0时，函数f（x）=x2-2x-3在区间上有零点。

然后，老师提出问题：如果零点在f（x）=x2-2x-3区间上存在，函数值的乘积必定大于0吗？接着，老师带领学生作出猜想：是否对任何函数都能得出同样的结论。

接着，让学生任意画函数图象进行观察分析，相互交流，指导进行概括：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根，反之不成立。

进一步，老师设问：上述命题在什么情况下反之成立呢？然后先让学生观察二次函数f（x）=x2-2x-3在[-2，1]、[2，4]、[-2，4]这三个区间上的函数图象，引导学生发现当图象单调时，上述命题反之成立。老师在这里重点指出：函数的单调性在函数零点中的重要作用。

设计意图：这一环节是对新概念“强抽象”。通过引入新特征——函数的单调性来强化对零点的认识，函数的单调性在函数零点中的重要作用，然后承上启下，通过多种数学思想方法的有机结合，提升学生逻辑推理、数学抽象水平，这里使用的数学方法有：一是递推;二是归纳;三是分类讨论;四是数形结合。

4、图式（schemas）阶段——迁移创新，拓展延伸;应用举例，练习巩固

首先，老师给出例题：求函数f（x）=1nx+2x-6的零点的个数？

然后，老师提问：能否用代数法？一般说来，学生不会解方程1nx+2x-6=0，因此这里学生会转向用几何法。

再问：若几何法，你们能画出函数图像吗？这时学生可能会犹豫。

又问：如果已知函数是单调函数，能画出大致的图象吗？此时老师借助计算机给出函数图象，使学生对于两个方面的体会更加具象：一是零点所在区间;二是函数的零点。

五问：函数是否只有一个零点？然后，老师带领大家对解析式f（x）=1nx+2x-6进行分析，不难得出f（x）=1nx+2x-6是增函数，于是只有一个零点。

设计意图：这一环节进一步将新概念“强抽象”。老师在这里层层递进地提问，由浅入深，一步步引导学生从函数单调性的角度出发求函数的零点，将函数零点的概念具体化，表面看来似乎是向活动阶段的感性的具体的回归，但这决不是真的回到了感性的具体，而是对新概念的“强抽象”，学生的认知达到了一个更高的阶段[9-10]。

四、总结与展望

APOS理论的四个环节循序渐进，层次由低到高，但每个阶段是紧密联系的，本课例在每一个环节设置了不同层次的问题，进行问题导引，逐层深入，又在环节与环节之间设置了过渡性问题，同时过渡性问题也逐步深入，这样有利于引导学生体验数学抽象的整个过程，即：弱抽象——强抽象——二次强抽象，培养其抽象思维，同时保证了一节课的完整性，也体现了概念教学的过程性。值得注意的是，并不是每个教学设计都有一个强抽象，两个弱抽象，老师在编写教学设计时，应该着眼于具体的教学内容，具体问题具体分析[11]，数学抽象教学过程中，需要强化五个方面能力的培育：一是分析;二是运算;三是想象;四是建模;五是推理，这样才能使学生真正体会到数学四个方面的价值：一是审美价值;二是文化价值;三是实践价值;四是科学价值。

参考文献

[1]教育部. 普通高中数学课程标准[M]. 人民教育出版社， 2017.

[2]鲍建生， 周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海教育出版社， 2009.

[3]柯秀革. 浅议高中数学教学学生抽象概括能力的培养[J]. 考试周刊， 2018（19）：75-75.

[4]方厚良. 谈数学核心素养之数学抽象与培养[J]. 中学数学， 2016（13）：35-37.

[5]潘春娥， 唐剑岚. 基于APOS理论和动态数学软件的数学创课设计——以“指数函数及其性质”为例[J]. 中小学课堂教学研究， 2017（9）.

[6]唐剑岚， 周元. “授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”——以《等差数列的前n项和》公式推导片段为例[J]. 数学通报， 2016， 55（9）：41-46.

[7]徐群英. APOS理论指导下的概念教学初探——“变化率与导数”（第1课时）教学设计与反思[J]. 中国数学教育， 2018（6）.

[8]从建华. 基于APOS理论下的数学概念教学策略探析[J]. 考试周刊， 2017（25）：15-16.

[9]周先华， 谢发超. 问题导引逐层深入——培养数学抽象核心素养的案例研究[J]. 中学教学参考， 2018（2）：9-11.

[10]李鹏飞. 数学新课程标准下学生数学素养的再认识[J]. 新课程（中学）， 2018（1）.