对一道三角高考试题的解法探究及教学思考

林佩芬

《课程标准》 指出，高中数学教学应该以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，强调创设的情境并提出问题对于启发学生思考、发展数学学科核心素养的重要性。

本文以一道三角试题的解法探究为例，就教学思考作一探析，以飨读者。

1.题目再现及解法探析

试题（2014年高考课标全国卷Ⅰ第8题）

设，，且，则（ ）

A. B.

C. D.

分析：本题是一道考查基本知识与基本方法的好题，入口宽，解法多，考生如果能熟悉运用三角公式，可得到如下几种求解方法。

法1：由得：，

，所以。

因为α-β，，所以α-β，

，故选B。

法2：由得：，

，，。

因为，所以，，故选B。

法3：由得：

，

所以。

因为，所以，，故选B。

法4：由得：

，

所以。

因为，所以，，故选B。

评析：在课堂教学时，一般情况下，教师不应将解题思路原封不動地交给学生，而必须有所为，有所不为。

教师在选择传授的某一种或两种思路时，就要考虑学生的意识机能中，所存在的数学知识、方法、数学观念，还要考虑情感的体验等，这是基于最近发展区的教学，符合学生的认知水平，能让学生在掌握知识技能的同时，真正理解知识的本质。

有效的数学解题教学是基于学生认知水平的，学生认知的最近发展区是学生的知识生长点，也是数学解题教学的基准点。教师根据学生的思维认知水平促疑生疑，以引起学生的共鸣，提升学生的兴趣，提升教学效能。

2.思想感悟及素养培养

但若教学仅止步于此，可以看到，这样的教学活动是无法让学生理解数学知识的本质，更不可能感悟数学的基本思想。为此必须创设思想立意活动，引领学生立意于思想解决问题。

引领学生立意于特殊与一般思想，可以感知：α随着β的变化而变化，这样的α与β有无穷多对，但α与β间的关系不会改变，则可将β特殊化予以求解。如取，即得，验证选项即知正确答案为B。

在这里，“特殊与一般思想”的立意是问题获得轻松解决的关键。正是由于“特殊与一般思想”的立意，我们“依据逻辑规则从特殊到一般与一般到特殊地进行推理”，将问题轻松予以解决，在这个过程中，逻辑推理等能力得到了发展。

引领学生立意于有限与无限思想，可以感知：α随着β的变化而变化，β可无限趋近于0，也可无限趋近于，则可将β极限化予以求解。令，则，，验证选项可排除A、C;令，则，，验证选项可排除D，故正确答案为B。

在这里，“有限与无限思想”的立意是问题获得轻松解决的关键。正是由于“有限与无限思想”的立意，我们“从事物的具体背景中抽象出了一般规律”，并依据规律将问题轻松予以解决，在这个过程中，数学抽象等能力得到了发展。

可见，“思想立意”能让学生感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践的经验，同时提升和发展逻辑推理与数学抽象等能力，是基于“四基”的数学教学活动，是培养核心素养的重要举措。

3.教学启示与建议

“四基”提出的目的是通过数学的学习，学生不仅把数学作为一种技术和手段，还要学会思考，逐步具有数学抽象的能力和逻辑推理的能力，这是核心素养的数学教学要求。

为了实现这样的教育目标，在数学教学中至少应当遵循这两个原则：把握数学知识的本质，设计并且实施合理的教学活动。

之所以要求数学教学要遵循这两个原则，是因为学生数学核心素养的形成和发展，本质上是学生自己“悟”出来的，是学生通过自己的独立思考，以及和他人的讨论与反思，逐渐养成的一种思维习惯。

学生也只有这样，才能在掌握知识技能的同时理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想，在这个基础上“积累数学思维和实践的基本经验”，形成和发展核心素养。

为此，在数学教学活动中，教师应当结合教学任务及其蕴含的数学核心素养，设计合适的情境与问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，引导学生用数学的语言描述背景、表达问题，引导学生用数学的思维分析问题、解决问题，在问题解决的过程中，促使学生理解数学内容的本质，收获数学的基本活动经验，感悟数学的基本思想，在这个基础上培养和发展数学的核心素养。

参考文献：

[1]史宁中. 《高中数学核心素养的培养、评价与教学实施》.中小学教材教学，2017.5

[2]林新建. 思想立意，发展数学核心素养，数学通报，2019.6