关于线性代数教学改革探索的几点想法

沈炳良　邹晓光　刘玲

摘要：线性代数是高等学校经管类专业的一门基础课程，相比于高等数学与概率论，它的抽象性更强，对于数学基础较差（高考数学平均分约为90分）的我院学生而言，学习这门课还是比较吃力的，学习的主动性也较差。为此就如何有效提高学生的学习兴趣，是一个值得探讨的问题。本文结合自己的教学经验，给出五点建议。

关键词：线性代数;教学改革;学习兴趣;总揽全局;以诗入文

1引言

线性代数是高等院校理工类和经管类各专业学生的重要基础课程。本课程主要内容为行列式、矩阵、线性方程组、向量、二次型、特征值与特征向量等，其概念、理论和方法已广泛地渗透到自然科学、工程技术、经济管理等领域。尤其是计算机科学日益发展的今天，许多非线性问题均可以通过线性化解决，线性代数日益显示出其重要性和实用性。通过该课程的学习，能有效地培养学生严谨的逻辑推理能力和抽象思维能力，并对后继专业课程的学习和数量分析能力的培养起着非常重要的作用。但线性代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性，对于以文科生居多、数学基础比较薄弱的经管类专业学生而言，在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。本文就如何有效提高学生的学习兴趣和教学效果，结合自身的实际教学经验，给出如下五点建议。

2主要内容

2.1理清来龙去脉，让学生知晓自己在学什么

可从课程名称《线性代数》出发，问学生代数是什么意思，线性是什么意思。着重介绍下代数的历史与框架，把学生中小学学过的代数知识串联起来，使学生对代数的历史有个整体的了解。代数的字面意思为用字母代替数，它的主要任务是解方程。我们可以从最简单的一元一次方程开始，从元和次两方面展开，从古代巴比伦一直讲到费马大定理及哥德巴赫猜想，让学生感受到代数的内在美。

2.2讲请概念，简化证明

线性代数的概念比较多，相对而言比高等数学要抽象一些。线性代数的主要难点几乎都在概念上而不在计算上，事实上只要会小学的加减乘除四则运算就基本够用了。比如通常的线性代数教材第一章为行列式，从二三阶行列式讲起，再到n阶行列式。学生最大的困惑是这个概念怎么来的，为什么要这样定义。我们可以从它的几何意义出发来阐释：二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的有向面积;三阶行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积;而n阶行列式可看成是其行或列向量所构成的n维超平行多面体的有向体积。然而正因为n维超平行多面体的有向体积很难描绘出来，才有了我们课本上n阶行列式的定义。证明对于学生来说更加难一些，大多数同学只能勉强看懂，但不会变通。究其原因，是对其证明思路理解得不够透彻。那么如何来解决这个问题呢？事实上，很多证明并不是数学家们凭空想出来的，它是有一个过程的，这个过程可理解为实践—理论—再实践的过程。我们可以从满足定理的几个例子出发，分析它们如何从条件一步步得到结论，再将其抽象化，一般就能得到其证明方法或思路。

2.3注意各章节间的联系，做到融会贯通

通常来说，一门课程各章节之间应是紧密联系的，如何把握好章节间的联动是很重要的。我们以n阶矩阵A可逆为例，可以有如下16个等价条件：

（1） 为可逆矩阵（2） （3）

（4） 的行（列）向量组线性无关（5） 的行（列）向量组为 的基

（6） 为 的两组基下的过渡矩阵（7） 的解空间的维数为0

（8） 的行（列）向量组的秩为 （9） ，其中 为初等矩阵

（10） 可经初等变换化为单位矩阵 （11） 与 等价

（12） 只有零解（13） 有唯一解，对任意

（14） 的伴随矩阵 为可逆矩阵（15） 的特征值均不为零

（16） 为正定矩阵

从中我们可以看出线性代数章节间的联系性是很强的。

2.4注重应用，加强与其他专业和学科的联系

首先要让学生相信线性代数是有用的，可将1973年诺贝尔经济学奖列昂惕夫的工作：将线性代数应用于经济系统的工作及谷歌搜索背后的线性代数（可参考KurtBryanandTenyaLeise，The25，000，000，000Eigenvector：ThelinearalgebrabehindGoogle.SIAM.Review48（3），2006，569-581）作为案例说明。其次，要加强与其他学科的联系，需要任课教师与相应专业教师建立联系。针对不同专业的学生，可以用一次课的时间讲授（也可在平时上课时进行穿插）线性代数在其专业课中的作用，如何运用线性代数的知识去解决专业课中的一些问题，让学生觉得这门课比较实用，从而增强他们的学习积极性。这就要求任课老师花比较多的时间去搜集相关资料与案例，也需要老师与学生进行面对面交流与合作，让学生也参与其中，从而达到学好这门课的目的。

2.5总揽全局，从宏观上理解线性代数

线性代数是一门概念众多，内容抽象，逻辑性强的课程。因此在学习过程中应总揽全局，从宏观上理解线性代数是很重要的。线性代数最主要的研究对象和方法可以用八个字来概括：“空间为体，矩阵為用”[4]。要抓住一条线：以矩阵为主线;掌握一方法：初等行变换方法。线性代数可以认为是n维空间的解析几何，它的很多概念是平面（2维）与空间（3维）中概念的推广[4]。唯有如此，才能更好的理解线性代数并学好它。

3小结

总之，老师要上好这门课，需要在教学方法上下功夫;学生要学好这门课，需要在课余时间里下功夫。要做到教学相长，相得益彰，才会有一个好的教学效果。最后，我们引用一首小诗来结束此文：

矩阵[1]（作者：东南大学数学学院张小向）

凡物皆数千古传，数系几度被拓展。

矩阵代数为哪般？莫过集成数与算。

加减乘除尚简单，矩阵乘除非等闲。

深究子式可得秩，初等变换不变量。

参考文献：

[1]陈建龙、周建华、张小向、韩瑞珠、周后型编.线性代数（第二版）[M].科学出版社，2016年6月.

[2]黄青鹤，应志领.提高线性代数课堂教学有效性策略研究[J].湖州师范学院学报，2013，35（3）：130-132.

[3]郝志峰.数学文化融入线性代数教学的探索[J].数学教育学报，2011，20（5）：8.

[4]李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化，2004（1）：3-6.

作者简介：

沈炳良（1981.11-），男，汉族，浙江德清人，上海财经大学浙江学院，理学博士，副教授，从事代数学研究。

邹晓光（1979.6-），男，汉族，浙江金华人，上海财经大学浙江学院，理学硕士，讲师，从事神经网络、数学教育研究。

刘玲（1982.5-），女，汉族，江苏如皋人，浙江师范大学，理学博士，讲师，从事代数学研究。

基金项目：

浙江省高等教育“十三五”第一批教学改革研究项目（jg20180453）;浙江省高等教育“十三五”第二批教学改革研究项目（jg20190593）;浙江师范大学校级一般青年教师教改项目—基于师范专业认证的高等代数教学改革。