唯一neat环的一些性质

王 菲, 应志领, 张 晶

(南京邮电大学理学院, 南京 210023)

文中所涉及的环都是有单位元的结合环．Nicholson[1]在研究模的可消去性问题时, 首次将每个元素都可以写成幂等元与可逆元和的环R称为clean环．近五十年来,很多环论研究者探讨了环的相关clean性, 如强clean环[2],唯一clean环[3-4], 唯一强clean环[5], 强Jn-clean环[6],m-clean环[7]等．其中, 环中的每个元素都可以唯一地表示成幂等元与可逆元和的环R称为唯一clean环．由于clean环的同态像仍是clean环, McGovern[8]将环R的每个非平凡的同态像都是clean的环定义为neat环．受上述研究的启发, 本文引入唯一neat环的定义, 并给出一些等价刻画, 探讨了群环是唯一neat环的充分条件或必要条件．

对于一个环R, 用N*(R)和J(R)分别表示环R的素根和Jacobson根, 其中N*(R)=0的环R称为是半素环; 记Zn为整数环Z模n的剩余类环;Mn(R)和Tn(R)分别表示环R上的n阶矩阵环和上三角矩阵环．更多的记号和术语可参见文献[8]．

1 唯一neat环的定义及性质

由于唯一clean环的同态像仍是唯一clean的[4], 受neat环定义的启发, 本文引入如下环类:

定义1如果环R的任意一个非平凡的同态像都是唯一clean的, 那么R称为唯一neat环．

命题 1设环R是交换环, 则下列条件等价:

1)R是唯一neat环;

2)R/aR是唯一clean环, 其中a∈R{0,1};

3)R/aR是唯一neat环, 其中a∈R{1}．

证明 1)⟹2)．当a≠0且a≠1时,aR是R的非零真理想, 故R/aR是R的非平凡同态像．由唯一neat环的定义可知,R/aR是唯一clean的．

1)⟹3)．由1)⟹2)可知．

2)⟹1)．设S为R的非平凡同态像, 则存在一个非零真理想I使得S≅R/I．取I中的非零元素a, 显然a≠0,1．由条件可知,R/aR是唯一clean环．因(R/aR)/(I/aR)≅R/I, 故R/I是R/aR的同态像．由唯一clean环的同态像仍是唯一clean的, 知R/I是唯一clean环, 即R是唯一neat环．

3)⟹1)．取a=0可知．

定理1若R是交换唯一neat环, 但不是唯一clean环, 则R一定为半素环．

2 唯一neat群环

对于群G和环R, 群环RG是clean环、唯一clean环或neat环的充分条件或必要条件都已得到深入地研究[8-11], 本文将研究群环RG的唯一neat性．

命题 2如果群环RG是唯一neat环, 其中J(R)≠0且G≠{1}, 那么R是唯一clean环且G是一个2-群．

证明 记RG的增广理想为Δ(RG), 有RG/Δ(RG)≅R．因为群G≠{1}, 所以R是RG的非平凡同态像, 即R是唯一clean环．由文献[9]中定理20可知,R/J(R)是布尔环, 从而Z2是R的同态像．又J(R)≠0, 故Z2是R的非平凡同态像, 知Z2G是RG的非平凡同态像, 且是唯一clean环．同时, 由文献[9]中定理5知G是一个2-群．

如果R是唯一clean环且G是一个2-群, 不能知道RG是否为唯一neat环, 但对于一些特殊情况是成立的．

命题 3如果R是一个不同构于Z2的布尔环, 且G≠{1}是一个局部有限群, 那么群环RG是唯一neat环当且仅当G是一个2-群．

证明 必要性．因为R是一个不同构于Z2的布尔环, 所以Z2是R的非平凡同态像,Z2G是RG的非平凡同态像, 是唯一clean环．再由文献[9]中定理5知G是一个2-群．

充分性．由文献[9]中引理9易得．

命题 4如果R是一个J(R)≠0的环, 且G≠{1}是一个局部有限群, 那么群环RG是唯一neat环当且仅当R是唯一clean环且G是一个2-群．

命题 5如果R是一个J(R)≠0的环, 且G≠{1}是一个可解群, 那么群环RG是唯一neat环当且仅当R是唯一clean环且G是一个2-群．