τ-内射模的若干性质①

李煜彦, 王胜青

(陇南师范高等专科学校,甘肃 陇南 742500)

定义1[1]设E,M是模.称E是M-内射模,如果对任意LM以及任意同态映射f:L→E,存在同态映射h:M→E,使下图可交换:

引理1[2]设M是模,K,NM,则以下结论成立:

(1)Nτ-eM当且仅当N∈Dτ(M),且对任意0≠m∈M,N∩Rm≠0;

(2)若KN,则Kτ-eM当且仅当Kτ-eN且Nτ-eM;

(3)若Nτ-eM,则N∩Kτ-eK;

(4)若Nτ-eM,Kτ-eM,则N∩Kτ-eM;

(5)若K则Nτ-eM;

(6)若Nτ-eM,则对任意m∈M,(N:m)={r∈R|rm∈N}τ-eR;

(7)对任意模族{Mi|i∈I},若Niτ-eMi(i∈I),则⊕INiτ-e⊕IMi.

定义2设E,M是模.称E是τ-M内射模,如果对任意Lτ-dM以及任意同态映射f:L→E,存在同态映射h:M→E,使下图可交换:

显然,若E是M内射的,则E是τ-M内射的.

称E是τ-内射模,如果对任意模M,E是τ-M内射模. 称E是τ-拟内射模,如果E是τ-E内射模.称模族{Mi|i∈I}是相互τ-内射的,如果对任意i≠j,Mi是τ-Mj内射的.E(M)表示M的内射包,Eτ(M)表示M的τ-内射包,其中Eτ(M)=∩{K∈Pτ(E(M))|MK}.

由文献[6]知,Eτ(M)是包含M的最小的τ-内射模.Eτ(M)是M的τ-内射包当且仅当Eτ(M)是τ-内射的且是M的τ-基本扩张.

命题1设M,N是模,Lτ-dM.若N是τ-M内射的,则N是τ-L内射和内射的.

证明易证N是τ-L内射的.

h(x+L)=hπ(x)=g(x)=fπ1(x)=f(x+L)

命题2设M,N是模.则N是τ-M内射的当且仅当对任意m∈M,N是τ-mR内射的.

证明(⟹)显然.

(⟸) 设m∈M,N是τ-mR内射的,则对任意Lτ-dM,以及任意同态f:L→N,由Zorn’s引理知,存在极大元(X,g),使得g是f的扩张,其中Lτ-dXτ-dM,g:X→N.易知Xτ-eM.假设X≠M,m∈M-X,K={r∈R|rm∈X},则K≠0.

g(x)+h′(mr)=g(x)+h(mr)=g(x)+g(mr)=g(x+mr)=0

即(X+mR,g′)符合上述条件,这与(X,g)的极大性矛盾.从而X=M.即N是τ-M内射的.

命题3设N是模,{Mi}i∈I是R-模族,M=⊕i∈IMi.则N是τ-M内射的当且仅当对任意i∈I,N是τ-Mi内射的.

证明(⟹)由命题1易证.

(⟸)对任意Xτ-dM,以及任意同态f:X→N.由Zorn’s引理知,若对任意X′τ-dM,满足存在j∈I以及m∈Mj,使得m∉X,则不能扩张到同态X′→N.

因为N是τ-Mi内射的(∀i∈I),由命题2知,N是τ-mR内射的.从而存在g:X+mR→N,使得g是f的扩张,这与f的极大性矛盾.从而N是τ-M内射的.

命题4设M,N是模.则N是τ-M内射的当且仅当对任意g∈Hom(Eτ(M),Eτ(N)),g(M)N.

证明(⟸)对任意Xτ-dM,以及任意同态f:X→N.因为Eτ(N)是τ-内射的,所以存在同态g:M→Eτ(N),使得g是f的扩张.而由g(M)N知,g:M→N是f的扩张,从而N是τ-M内射的.

(⟹)令X={m∈M|g(m)∈N}.因为N是τ-M内射的,所以存在同态h:M→N,使得h是g|X的扩张,即下图可换:

其中N→Eτ(N)是单同态.下证N∩(h-g)(M)=0.

设n∈N,m∈M,使得n=(h-g)(m).则有g(m)=h(m)-n∈N,故n∈X,从而n=h(m)-g(m)=g(m)-g(m)=0.即N∩(h-g)(M)=0.又因为NτEτ(N),所以(h-g)(M)=0.从而g(M)=h(M)N.