克服思维定式走向深度学习

潘敬贞 骆妃景

摘    要：开展“一题多解”教学是克服学生思维定式，培养学生思维灵活性的有效途径之一.师生可从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓学生解题思路，总结解题规律，使学生分析问题、解决问题的能力得到提高，思维的发散性和创造性得到增强，最终达到发展学生核心素养的目的.

关键词：核心素养;高考复习;一题多解;思维定式

“一题多解”是高考二轮复习解题教学或试卷讲评中常用的手段，开展“一题多解”教学是克服学生思维定式，培养学生思维灵活性的有效途径之一.用“一题多解”引领的高三数学复习教学，主要是师生一起从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓学生解题思路，并引导学生从多种解法的对比中选最佳解法，总结解题规律，使学生分析问题、解决问题的能力得到提高，思维的发散性和创造性得到增强，最终达到高效复习、发展学生核心素养的目的.本文结合实例谈用“一题多解”引领高三数学高效复习.

一、教学案例

（一） 用“一题多解”梳理整合知识，构建知识体系

评注   这是解三角形问题中比较基础的边角互化问题，学生能够轻松解决，原本可一笔带过，但本题用两种方法解决可以让学生进一步熟悉边角互化问题中的角化边或者边化角两个通法，同时可以引导学生回顾有关知识，构建知识体系.解法1主要通过用正弦定理边化角带领学生回顾复习正弦定理、三角恒等变换等知识;解法2通过余弦定理角化边带领学生回顾复习余弦定理以及训练恒等变形等运算能力.

评注   第（2）问是高考中常考不衰的问题.该问的解法1是利用余弦定理边化角建立二元变量的关系，进而用重要不等式求二元最值问题，也可以用消元得到关于一元函数再用求导的知识来解决.解法2是利用正弦定理边化角建立一元角的目标函数并结合三角函数的图象性质进行解决问题.这两种方法都是学生熟知的解决此类问题的通法，进一步帮助学生梳理了解三角形中二元最值问题中代数化的方法.通过用两种解法从不同角度、联系不同知识对问题进行求解，有效地引导学生以问题为中心，将不同知识点连成线、织成面，促进知识的梳理与整合，帮助学生构建知识体系，逐步提升数学综合能力.

（二）用“一题多解”发散思维，培养创新意识

解法3（运动轨迹+数形结合）：

一边及其对角问题其本质是点的轨迹问题，条件中[C=π3，c=7]，由正弦定理可知，点[C]在半径为[213]的圆的优弧[AB]上运动，如图1所示，利用[△ABC]外接圆直观分析，动点[C]运动到优弧[AB]的中点[M]时（[△ABC]为等边三角形），[△ABC]的面积最大（底不变，高最大），即[ab]最大，又因为[（a+b）2=3ab+7]，当[ab]取得最大值时，[b+c]也取得最大值为[27]，所以[△ABC]周长的最大值为[37].

评注   解法3是利用外接圆直观分析解决三角形中已知一边及其对角问题情境求范围，快速高效，多在选择、填空题中使用，让学生体会数形结合的思想，培养学生直观想象、数学抽象的核心素养.解法4是利用余弦定理+方程思想，适用性比较强，能够解决大部分关于二元齐二次变量关系，求二元一次和差最值问题，比如本题若求[ma+nb]（其中m、n为常数）的最值，该法也适用，且易于操作和理解，帮助学生多题归一，形成解决此类问题的能力.解法5是利用平面向量基本定理尋找三角形的边角关系，凸显利用平面向量工具解决平面几何的重要地位，引导学生重视平面向量工具在平面几何中的应用.这三种解法在某种程度上都拓宽了学生的解题思路，发散了学生的思维，培育了学生的创新意识.

感悟   “一题多解”教学需要注意方法的比较和个性化选择.本题第（1）问用了两种解法，第（2）问用了五种解法，其中解法1、2比较容易想到，重在帮助学生梳理知识，建构知识系，解法3～5帮助学生将知识融会贯通，有助于培养思维的变通性、灵活性和多样性，有利于培养良好的思维品质.因此一题多解可以开阔学生眼界，让学生以后遇到类似的问题，可以选择自己熟悉的易于掌握的方法解决问题.但在五种方法连续出现后也要注意引导学生比较各种解法的条件限制性、适用性、思维量及优缺点后找到适合自己的方法，并将该方法领悟透彻、落实到位！

（三）用“一题多解”提升变形能力，培育逻辑推理核心素养

评注   由简单的递推关系式或[an]与[Sn]的基本关系求数列通项公式是数列中常见的问题.本题是已知[an]与[Sn]的基本关系求数列通项公式，解答该题首先利用[an]与[Sn]的基本关系去掉[Sn]，然后得到数列递推关系式.解法1是通过变形将数列递推关系式转化为常数列，解法2是变形后转化等差数列，解法3是变形后再利用迭代法，解法4是问题进行求解变形后再利用累乘法.这四种解法都是求数列通项公式常用的方法，试题虽然不难但对变形能力和推理有着较高的要求，这四种不同的变形方式对提升学生的变形能力和培育学生的逻辑推理核心素养大有裨益.

感悟   “一题多解”教学需要在课堂上给学生留足“悟”的时间.本题解法1和解法4学生比较熟悉，能够轻松解决，可以一笔带过，但解法2是通过对[n]增加一步，利用等差中项得出[an]为等差数列，这个变形对学生能力要求比较高，解法3利用数列中两个相邻项的商等于一个含有[n]的式子，利用迭代法求通项，该变形学生不太熟悉，但这两个方法是求数列通项的重要方法，因此这些变形要留给学生整理和体会甚至再做一遍的时间，否则众多的解法变形也只是过眼云烟，低效教学.再者课堂上留足时间让学生领悟甚至再做一遍，也是学生思维向纵深发展，培养学生逻辑推理、数学运算素养与渗透数学思想方法的重要途径.

（四）用“一题多解”优化解题过程，提高运算求解能力

评析   解法1是联立直线与椭圆方程，进而用韦达定理和弦长公式等，是本题的通法，但运算量较大，很少有学生能解到最后一步.解法2是联立直线与曲线方程并求出交点坐标，巧妙地回避了分类讨论，运算量和解题长度都有所减小，是一种不错的解法.围绕着同一个问题用两种不同的解题思路，从不同角度让学生亲历解题实践，提高了学生的运算求解能力，优化解题过程，培育数学运算素养等.

感悟   一题多解能有效优化运算，培养学生的数学运算素养，但也不能一味追求解法的多样化，需要适当地在学生困惑处精雕细琢、浓墨重彩地下足功夫，解决学生熟悉解法中的“卡壳”.例如本题中的解法2含有转化变形技巧，有一定的灵活性;解法1才是本题的通法，也是大部分学生容易想到的思路，学生有时对于解题方法选择时带有很强的惯性，就算他有了解法2的经验，但他依然会选择解法1，但众多学生在求弦长[MN]时出现“卡壳”，因此教师在讲评解法1时重点引导学生如何消元，代数整理突破计算难点，培养学生的数学运算素养.

二、教学思考

（一）“一题多解”教学要兼顾差异

“一题多解”教学如何调动学生的积极性，如何兼顾好优秀生、中等生及学困生，并在各层次学生之间寻求平衡？這是开展“一题多解”教学要直面的问题，比如在例1中第（2）问的解法1、解法2大多数学生的思维都能得到激活，优秀学生也能够很好地掌握解法3～5，但如果学生在课堂上不能够很好地参与进来，那么在后四种解法的教学中，不少中等生、学困生就变成陪衬.实际上，“一题多解”更要重视分层教学，没必要要求人人都能理解所有的解法，在例1中大多数学生能够将2～3种方法好好领悟到位就足矣.另外，对于“一题多解”教学中的每一个解法除了讲清思路外，还需要将计算进行到底，如果课堂上时间不允许，可以将一些解法留到课后，学生互相交流解决，这样既能有利于优秀学生的发展，又能兼顾差异.

（二）“一题多解”教学要重视学生在课堂中的再体验及课后跟进的巩固练习

“一题多解”不是教师的表演秀，天花乱坠地向学生展示多种解法，也不纯粹是学霸们的展现平台.“一题多解”教学中教师不但要引导学生“怎样想到这样解、为什么这么想、遇到哪些问题可以这样想”等，还要让学生亲历体验解题活动，同时教师还要选编课后练习，引导学生及时跟进巩固练习，内化课堂解题方法，提高“一题多解”的效益.这样一来学生更容易记住和迁移解题经验，形成解决此类问题的能力，发展核心素养.

（三）“一题多解”要把握一个“度”

“一题多解”的教学有其两面性，并不是方法越多越好，要有一个“度”，如果超出一个“度”，“一题多解”就将浪费学生的时间和精力，导致备考效益低下.所以要牢记“一题多解”要充分了解学生的情况，根据学生的学情选择多解中“多”的角度;在学生的“熟悉”和“陌生”之间寻求突破口，确定讲解的详略点.

用“一题多解”引领的高三数学教学对教师提出更高的要求，只有多学习、多思考、多研究，平时要勤于实践和反思，方可达到高效备考的目的.