例谈生成性教学视野下分式方程的教学

任宏章

摘    要：教学的核心不是目標的达成而是学生的发展，而学生的发展是在具体教学过程中实现的.生成性教学视野下的课堂教学，整体感悟，巧妙预设，自然生长，凭借经验引发冲突，追根悟道灵动生成，拓展延伸创意不断，思潮涌动智慧发展.

关键词：生成性教学;追根悟道;灵动生成;智慧发展

教学的核心不是目标的达成而是学生的发展，而学生的发展是在具体教学过程中实现的[1].生成性教学视野下的课堂教学，整体感悟，巧妙预设，自然生长，凭借经验引发冲突，追根悟道灵动生成，拓展延伸创意不断，思潮涌动智慧发展.

一、凭借经验   引发冲突

课堂教学在生成性教学的视野下组织，在整体感悟分式研究内容可以类比整式研究内容的前提下，自然从整式方程过渡到分式方程的问题，从回顾上一节的学习内容开始，聚焦解分式方程，学生提及解分式方程的三种方法：①利用分式的值为0的条件解分式方程;②利用分子、分母比较的方法解分式方程;③利用等式的基本性质两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程的解分式方程.其中方法③需要检验，检验的方法为：把求得的未知数的值代入原方程，如果方程左右两边的值相等，未知数的值就是原方程的根，否则就不是.

在这样的经验引导下，笔者让学生尝试解方程：

（1）[3x+1-1x-1=0].

（2）[5x-4x-2=4x+103x-6-1].

生1解方程（1）的过程如下.

解：两边同乘以[（x+1）（x-1）]得：[3（x-1）-（x+1）=0].

解整式方程得：[x=2].

检验：把[x=2]代入原方程

左边=[32+1-12-1]=0，右边=0，

左边=右边.

∴[x=2]是原方程的根.

生2解方程（2）的过程如下.

解：两边同乘以[3（x-2）]得：[3（5x-4）=4x+10-3（x-2）].

解整式方程得：[x=2]

检验：把[x=2]代入原方程

左边=[5×2-42-2]=0，右边=[4×2+103×2-6]=0，

（分母无意义）   （分母无意义）

∴原方程无解.

生1的解方程过程没有异议，但很快有学生发现生2的解方程过程中[5×2-42-2]=0的书写是有问题的，分母无意义的说法值得肯定，但结果为0是错误的，分母为0无法计算.课堂的意外发生了，是计算错误吗？学生都陷入沉思.

分母无意义情况的出现，引发了思维的冲突.课堂的生成在笔者的精心预设之下发生，笔者抓住这一契机，提出问题：

[x=2]是方程（2）的根吗？难道计算错误了吗？

二、追根悟道   灵动生成

经过检查，学生一致认为：[x=2]不是方程（2）的根，计算没有错误.那为什么会出现这种情况呢？

小组讨论：在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起未知数的值不是方程的根？

课堂讨论在进行，学生发现问题.

生3针对生2的解题过程说明：两边同乘以的最简公分母[3（x-2）]是0，而事先不知道最简公分母[3（x-2）]是0.这道题两边不能同乘以最简公分母[3（x-2）].

师：生3说得很有道理，但两边不能同乘以最简公分母[3（x-2）]的说法不能让人信服，因为我们解分式方程开始时不知道最简公分母是不是0，现在乘了，要想一想是否有后补的措施？

学生异口同声说：检验.

师：那检验哪些方面呢？

生4：一要检验计算的正确性，二要检验得到的未知数的值是否适合原方程.

师：这就对了.现在比较乘以最简公分母[3（x-2）]前后的两个方程，从解的存在的角度出发，有什么发现？

生5：乘以最简公分母后的方程的解的范围扩大了，未知数的取值允许原来分母为0了.

师：这就是说，乘以最简公分母前后的两个方程不一定是同解方程，乘以最简公分母后得到的整式方程加上最简公分母不为0才会与原方程同解.

学生在教师的追问下对问题的理解不断加深，至此，学生明白了增根产生的原因，也知道了解分式方程要检验的道理.

于是，笔者引导学生阅读课本，回答问题：不是原方程的根叫什么根？

像这样使分式方程的分母为0的根叫作原分式方程的增根.

解分式方程的过程在悟道的基础上自然生长.

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须要检验.但能用比较简明的方法检验解分式方程产生的增根吗？

新的问题再次引起学生的思考.

生6：增根的检验不需要代入原方程，只要代入最简公分母.

师：具体怎么代呢？

生6：如果代入最简公分母的值是0，就是增根;如果代入最简公分母的值不是0，就是根.

师：请你改进方程（2）的检验过程.

生6到讲台前板书：检验：把[x=2]代入最简公分母[3（x-2）]，得[3（x-2）=0].

∴ [x=2]是原方程的增根.

∴原方程无解.

师：今后熟练了，我们也可以直接写：

经检验x=2是原方程的增根.∴原方程无解.

解分式方程的规范过程在悟道的基础上自然生成.

在已经规范解分式方程过程的基础上，让学生解下列方程：

（3）[1x-2=1-x2-x-3].

（4）[x-2x+2-x+2x-2=16x2-4].

生7板书解方程（3）过程如下.

解：[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）].

两边同乘以（x-2）得：1= -1+[x]-3（[x]-2）.

解整式方程得：[x]=2.

检验：把[x]=2代入[x]-2=0.

∴[x]=2是原方程的增根.

∴原方程无解.

当生7板书完成解方程（3）后，笔者没有评判，而是让全班学生观察，发现错误或书写不妥之处可以直接走上讲台前修改.

生8把[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）]改为[1x-2=-1-x-x-2-3];

接着生9把[1x-2=-1-x-x-2-3]改为[1x-2=-（1-x）-（x-2）-3]，再变形为[1x-2=x-1x-2-3].

修改的过程在无声的交替过程中进行，学生观察着、思考着，把利用等式的性质与利用分式的性质进行比较、区别，解分式方程的过程在认知渐进的生成过程中不断被修改、被规范、被纠正.

真正意义的课堂学习在不断发生，课堂生长的力量在持续.

生8板書解方程（4）过程正确（略）.

规范解分式方程过程在练习实践中进一步充实、完善.

三、拓展延伸   创意不断

随着课堂的进展，笔者正准备出示含有字母参数的方程，但被学生修改完善解方式方程的过程深深感染.

于是灵机一动，说：分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 等号左边的分子被污染了，用一个未知的字母[a]表示，变成[ax-2=1-x2-x-3]（笔者随即在投影上做了修改），请问这个关于[x]的分式方程一定有解吗？

笔者的提问引起学生的思考，马上生9站起来说：[a]=1时，该方程无解;[a]≠1时，该方程有解.

教师问：你是怎么想的呢？

生9：凭感觉嘛！

师：凭感觉？怎么能凭感觉呢？应该有道理吧，可以怎样写出过程？

生10：不妨先把含字母[a]的分式方程化成整式方程，再把可能的增根[x]=2代入得到的整式方程，就可以求出[a]了，看看是否有[a]=1.

根据学生的表述，笔者板书：

两边同乘以（[x]-2）得：[a]= [x]-1+3（[x]-2）.

当[x]=2时，[a]= 1.

∴[a]= 1时，原方程有增根x=2，即原方程无解.

师：看来生9的直觉是正确的，数学需要直觉，但仅靠直觉并不可靠，需要想明白其中的道理，需要用数学的方式表达出来.

笔者的教学机智显然被激活了，再次灵机一动要求学生继续改编问题.

仿照教师的做法，把分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 改编为含字母[a]的分式方程，讨论该方程解的存在情况.先在白板上书写编好的题目，再写出解题过程.（磁性白板，学生书写的小白板可以粘贴展示）

班中七个小组的学生迅速进入合作学习状态，6分钟后，四个小组学生完成编题解题，两个小组学生完成编题，解题没有写全，一个小组学生编题后写解题过程遇到困难.

学生编题主要有三种.

编题1：[a]为何值时，分式方程[1x-2=a-x2-x-3]有增根？

编题2：[a]为何值时，分式方程[1x-2=1-ax2-x-3]无解？

编题3：[a]为何值时，分式方程[1x-2=1-x2-x-a]有增根？

笔者分别请编题小组学生当小老师，讲解编题的想法，说明解题过程.编题1、2的学生讲解顺利，编题3的学生讲解如下.

解：两边同乘以（[x]-2）得：1=[x]-1-[a]（[x]-2）.

当[x]=2时，1=2-1;

当[x]≠2时，（[x]-2）（1-[a]）=0，[a]=1.

（此时，负责讲解的学生无法说清楚是什么情况）

学生自己编的题自己说不明白.这一意外生成显然也是笔者事先没有预料的，课堂在此卡壳，师生都陷入沉思.

笔者此时让学生冷静地观察、比较、思考，a=1时原方程可以变形为什么？a≠1时原方程又可以变形为什么？

马上有生11说：[a]=1时原方程变为[1x-2=1x-2]，这是一个恒等式.

师：未知数[x]可以取哪些值呢？

生11：除了2以外的所有数.

师：此时方程的解有多少个？

生11：无数个.

师：怎样描述此时方程解的情况？

生12：当[a]=1时，分式方程有除了2以外的无数个解.

师：另外一种情况怎么说呢？

生13：[a]≠1时，原方程变形为（[x]-2）（1-[a]）=0，一定有[x]=2，而[x]=2是增根，所以方程无解.

至此，在师生的对话过程中，思想的匣子被打开，智慧的思考发生了，编题3有了完美的解答，这一解答超越了常规，一般情况字母[a]取一个确定的值时，分式方程有增根，而本题中字母[a]取确定的值时，分式方程有除了2以外的无数个解，字母[a]除了1以外不确定时，分式方程无解，这是特殊的案例.

意料之外的生成促成深刻的思想的产生，现有的资料中没有，过去教师也没有讲过，课堂生成开出美丽的花朵，鲜艳夺目.

在此基础上，笔者进一步要求学生完成练习：

（5）若方程[2x+ax-2=-1]的解是正数，求[a]的取值范围.

（6）关于[x]的方程[2xx+1-][ mx2+x= ][2x-1x]，

当[m]为何值时，会产生增根？