高等代数在数学建模中的应用探讨

陈宇航

摘要：作为高等院校一门重要的基础课程，高等代数旨在培养大学生的思维能力、推理能力和抽象能力，对后续其它课程学习与理解具有重要作用。高等代数在日常生活中有非常广泛的应用，能够解决现实生活中的诸多难题。鉴于此，本文通过日常生活案例探讨高等代数在数学建模中的应用，为大学生高效率、高质量学习高等代数提供借鉴。

关键词：高等代数;数学建模;应用

数学源于生活，也要回归生活，其主要目的是让学生学会用数学的思维方式解决生活中的问题。随着课程改革的深化，数学教学的要求也在发生变化——教师不再只关注知识传授，更注重学生综合能力发展。其中，最为重要的便是如何培养学生解决问题的能力。建模思想作为教师在教学中着重培养学生的数学思想之一，强调用数学的思想分析并解决问题，与数学抽象和数学推理有着密切联系。建模教学以发展学生的数学应用能力为主，以发现问题、分析问题、解决问题、提炼模型、实际应用为主线，将数学知识与具体问题相结合，构建具有真实意义的数学学习情境，让学生体验数学建模的价值。伴随教育信息化深入发展，计算机、互联网、智能软件等作为重要的教学辅助工具逐渐应用于数学建模教学，这不仅优化了教师教学方式，而且直观地呈现了数学模型，帮助学生发现数学规律，理解数学本质。

1 高等代数与数学建模思想概述

高等代数是代数发展到高级阶段的总称，一般包括多个分支，如线性代数和多项式代数等。随着时代的发展，高等代数的内容和应用领域进一步拓展，相关理论研究愈加丰富。然而，高等代数中有大量概念和定理需要掌握，且抽象性较强难于记忆，因而寻找更适合的学习方式和教学方式成为学习高等代数的重中之重。

数学建模思想是按照现實问题，抽象出相关理论依据并构建起数学模型来达到解决现实问题的目的。因此，通过理论联系实际，将数学建模思想融入到高等代数学习中是一种有效方式。首先，高等代数应用范围广，能够快速建立起相应的数学模型，对解决问题具有显著作用;其次，高等代数较为抽象，而数学建模具有将知识形象化、实用化等特点，便于理解记忆，快速掌握相关知识点。

2 高等代数在数学建模中的应用案例

现如今，高等代数已在多个学科领域均有广泛应用，例如经济学、物理学、信息技术等领域，并在解决现实问题中取得重大进步。因此，本文以日常生活中的案例来说明高等代数在数学建模中的应用。

案例：某商店出售A、B、C三种商品，顾客1分别购买了A、B、C三种商品各1千克，共花费10元;顾客2购买A商品2千克、B商品1千克、C商品3千克，共花费22元;顾客3购买A商品1千克、B商品3千克、C商品2千克，共花费21元。问：A、B、C三种商品的售价分别是多少？

对此问题解法，在学高等代数之前，可以通过列三元一次方程组求解结果：

解法一：三元一次方程组

根据题干信息，可以得到如下三元一次方程组：

通过解该方程组可得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售价为2元/千克，B商品售价为3元/千克，C商品售价为5元/千克。上述是利用三元一次方程组求解过程，该题是现实生活中的常见问题，也可以通过高等代数的相关知识进行解答，具体过程如下：

解法二：高等代数解法

借助题干中所得信息，可以抽象出该题的理论模型，从而用高等代数中的矩阵构建起问题模型进行求解。依题意可得：

要解得最终结果，首先需要求解系数矩阵A的逆矩阵A-1，利用矩阵相关知识可以解得系数矩阵的逆矩阵A-1为：

将等式左右两边同时乘系数矩阵A的逆矩阵A-1，A-1AX=A-1B，可以得到：

由此可以解得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售价为2元/千克，B商品售价为3元/千克，C商品售价为5元/千克，表明利用高等代数求解结果与三元一次方程组所得结果一致。综合上述两种解法，高等代数在数学建模中的应用具有重要意义。首先，有利于为大学生解决现实问题提供一种新的方式，掌握一种新的解题工具，提高大学生学习的积极性和主动性;其次，有利于大学生更高效地掌握高等代数知识，提高思维能力、提升抽象能力。

3 高等代数在数学建模中的应用对策建议

高等代数不仅是一种科学知识，也是一种科学工具，更有利于人类解决现实问题，因而对大部分大学生而言是一门必须掌握的课程。因此，本文从两个方面提出学习建议：

第一，培养大学生利用高等代数与数学建模思想解决问题的思维。首先，要求大学生对高等代数相关理论知识有一定的理解，只有掌握牢固的基础知识，才能学会灵活运用，并学习好更多更深的高等代数知识;其次，能够有效地将现实问题或理论问题转化为数学模型，只有具备将现实问题联系到相关知识点的能力，才能以最快速度建立起合适的数学模型;最后，要慢慢培养起学习高等代数的兴趣，才能有充足的积极性、主动性去获取更多知识，并在日常学习与解决问题时注重总结规律积累、经验。

第二，重视信息科学技术在解决高等代数问题时的作用。当今世界信息技术发展速度异常迅猛，大学生作为年轻且富有朝气的新一代，不仅要学会掌握信息技术，还要积极拥抱信息技术，充分利用计算机等辅助技术解决各类难题。当前，在解决高等代数相关问题时，也有大量软件为计算矩阵等结果提供便利，例如Matlab、Mathematica等数学工具软件，极大提高了人类运算效率。

参考文献

[1]田元生.数学建模思想融入高等代数课程概念教学的研究与实践[J].湘南学院学报，2019，40（02）：73-75.

[2]李丽，杨方白，门桐宇，唐佳玥.基于数学建模思想的高等代数课程教学研究[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2017，35（02）：253-256.