“动可见思可现”：建立空间观念

樊曦

【摘要】从点到线，从线到面，从面到体，从平面观念到空间观念，这些抽象的几何知识是小学数学知识的重难点。当单一的知识相碰撞时，例如周长与面积的区别、表面积与体积的区别、体积与容积的区别等等，学生总是难以理解并容易混淆概念。如何有效培养和发展学生的空间观念，让学生做到心中有数学模型，根据建立的正确模型去分析问题，成了学生发展数学思维的一个关键。

【关键词】数学建模;空间观念;“动可见 思可现”

一、教学中的问题所在

在五年级“体积与体积单位”教学中，笔者最担心的事还是发生了：学生经常把体积与之前学习的面积混为一谈。在解决问题中，心里想的是体积，但计算结果是面积，把“高”遗漏了。当进行到体积单位时，学生暴露的问题更多了，回答问题时总是习惯说成面积单位。例如，文具盒的体积大约是400（   ），这是考查学生对生活经验和对体积单位大小的认识，有学生会填上平方厘米的错误答案。这不禁让人产生疑问：课后学生能把面积单位与体积单位之间的区别、联系说清楚吗？我想这只有小部分的学生能分辨清楚。再思考，怎么能解决这个问题？细细想来，当学生想到面积单位时，脑海中出现边长为1厘米、1分米、1米的正方形，当想到体积单位时，脑海中出现之前的正方形通过不断叠加或者三维构建，最后成为棱长为1厘米、1分米、1米的正方体。这样在脑海中建立数学模型，可以清晰明确地分辨出面积与体积的区别与本质联系。那么问题随之出现：怎么能让学生准确建立相应的模型？根据教学实验、教学经验，发现在课堂中进行“动可见 思可现”的实操，帮助学生逐步建立空间观念，有利于完成数学模型的建立。

二、“动可见  思可现”，建模解决问题

【课堂重现】

通过列举生活中一些物体，例如学生身边的文具盒、讲台、数学书、橡皮等等，让学生看、摸、感受这些物体的一个面。

师：（摸文具盒的盖子面）这是文具盒盖子的什么？

生：文具盒盖子的面。

师：那它的大小是什么？

生：文具盒盖子面的大小是文具盒盖子面的面积。

师：谁还能像这位同学一样，说出点其他的？

生：课桌面的大小是……，数学书封面的大小是……，地砖面的大小是……

师：很好！你们说的都是什么知识？

生：面的知识，也就是面积！

师：你们刚才都摸了面，面有什么特征呢？

生：平平的！

师：现在请你们把刚才摸的物体整体摸一遍！有什么感受？与刚才摸的面有什么不同？

生：一个物体有许多的面构成！

师：这些物体所占空间的大小还能叫作面积吗？为什么？

生：不能！因为面的大小是面积，而这是占空间的大小。

明确物体都是占一定空间的，并且这些物体所占空间有的大有的小。

师：（拿着文具盒）文具盒所占空间的大小，就是文具盒的体积。（双手比划讲台的轮廓）讲台所占空间的大小就是讲台的体积。

生：（一边双手比划，一边说）书包所占空间的大小叫作书包的体积，钢笔所占空间的大小叫作钢笔的体积。

通过看和摸活动的比较，学生初步感受面积和体积模型之间的联系，能够分辨面积与体积的不同。一般对于体积单位的教学，大多数教师都会采用直接告知的方法，例如拿出一个1立方厘米的小正方体，告知学生棱长为1厘米的正方体的体积就是1立方厘米。这样直接告知未尝不可，但没有很好的过渡，学生在短时间内往往很难接受，造成回答问题时出口竟然是“平方”的尴尬，显然学生没有理解“平方”与“立方”的概念。由于知识本身难度以及学生可接受能力的限制，如若对学生讲授“平方”是两个相同数相乘，“立方”是三个相同数相乘，这对学生进行建模是有影响的。改成从活动中去感受由平面图形到立体图形的转变过程，学生在由“面”到“体”的过程中才能自主建立数学模型。可以事先准备拆成平面的塑料卡片，课上让学生以小组活动的方式探索如何把不同的塑料卡片转变成一个立体图形。

【课堂重现】

师：面积的单位是平方厘米、平方分米、平方米，而体积的单位是立方厘米、立方分米、立方米。你们有什么发现？

生：它们只相差了一个字，一个是“平”，而一个是“立”。

师：那这背后蕴含了什么道理呢？“平方厘米”与“立方厘米”之间有什么联系与不同呢？老师给每个小组准备了一些不同的塑料卡片，都是什么形状？

生：有长方形、正方形、三角形、圆形。

师：都是不同的平面图形！要是计算它们的大小，你觉得用什么单位合适？

生：面积单位，平方厘米！

此时PPT上展示各个图形的面积大小。

师：现在请你们担任小小建筑家，利用这些图形建造出立体图形。

学生进行操作，教师指导，并提问要计算这些立体图形的大小应该用什么单位合适。

师：你们建造的图形都是什么样的？

学生展示成果并解释是如何建造的。

生1：我们利用6个正方形，建造出了6个面都是正方形的物体。

师：很棒！这是正方体。

生2：我们利用4个长方形和2个正方形，建造出了这样的物体。

师：很漂亮！这是长方体。

生3：我们利用3个长方形和2个三角形，建造出了這样的物体。

师：真有创意！这是三棱柱。

......

师：同学们的创意可真不少，看来咱们班有很多小建筑师。现在老师有个问题，立体图形建造出来了，如果要知道它们的大小，怎么办？

生：就要计算它的体积。

师：用平方厘米合适吗？如果把这些卡片的面积加在一起，是这些立体图形的体积吗？

生：不合适！那是面积单位。

师：面积加面积计算的还是面积，最后得到的这个图形所有面的面积，并不是体积。那要想计算体积，就需要用到什么单位？

生：体积单位，立方厘米！

师：成功找到合适的单位，现在大家闭上眼睛，想一想刚才是怎么把一个个平面图形建造成一个个立体图形的？从平面图形到立体图形，计算它们的大小，发生了什么变化？

生：计算平面图形的大小，是在计算它们的面积，而计算立体图形的大小，是在计算物体占空间的大小，是体积。

师：你回答得很准确！现在，相信你们对平方厘米和立方厘米有了更深的理解。现在再闭上眼睛，根据老师所说的，看看你们脑海里想到了什么？

师：平方厘米（学生闭眼）。

生1：面积。

生2：一个正方形。

生3：一个长方形。

生4：平面图形！

师：那立方厘米呢？

生1：体积。

生2：一个正方体。

生3：一个长方体。

生4：立体图形！

为什么低年级的学生理解掌握周长、面积、体积种种概念较为困难？是因为他们在思考分析的时候，脑海中是一团乱麻，没有清晰地、准确地建立起相应的模型。比如要求一个圆柱的表面積和体积，部分学生在脑海中想不出圆柱的表面积、体积的样子，更别谈计算了。通过以上的教学环节，学生在自主探究以及老师的引导下，通过主动建模，在体积与面积、体积与体积单位之间找到了联系。帮助学生手动操纵、构建模型、思考分析问题，逐步培养发展学生的空间思维能力，使学生的知识体系更加完善。

在学习了以上有关“体积和体积单位”的知识后，学生有了一定的思考，在脑海中建立了一定的模型，但是如何能让这个模型更加准确？当学生遇到问题时，能立马在脑海中迅速、准确地调出模型，这就要求学生实际感受过体积的大小，把脑海中初步建立的1立方厘米、1立方分米、1立方米模型与标准的模型建立联系，然后进行不断的修正。

【课堂重现】

师：你们知道1立方厘米有多大吗？

生：一个棱长是1厘米的正方体的大小就是1立方厘米。

师：你们说得很对！现在闭上眼睛，在脑海想一想，你想出1立方厘米有多大了吗？

（全班闭眼思考）

师：你们有想法了吗？说说你们是怎么想的？

生1：我先想到了一个面积是1平方厘米的正方形，然后在4个顶点竖起4个1厘米长的边，在上边盖上一个正方形，再把中间4个面也用正方形盖住，这样就建好了一个体积是1立方厘米的正方体。

生2：我直接就先想出一个正方体，然后把它的棱长都改为1厘米，这就是1立方厘米的大小。

师：你们想的都很棒！现在，让我动动手，根据刚才所思所想，利用你们手中的橡皮泥、工具创造出一个实体的1立方厘米！

（学生动手操作，教师巡视指导，并询问学生创造的方法）

学生进行展示：

生1：先做一个正方形，然后再做若干个正方形，最后叠加在一起。

师：你怎么能保证是1立方厘米？

生1：这些正方形的边长都是1厘米，最后叠加在一起的高也是1厘米，这样就是1立方厘米。

生2：我先做一个小球，然后用尺子在各个面压一压，最后用尺子量一量。

生3：我先做一个长条，然后量出1厘米的长，然后切断。

.......

师：你们的方法种类很丰富，看来你们都是小小建造师！

这一环节在一般教学中，很多老师会准备1立方厘米、1立方分米、1立方米的实体模型让学生看一看、摸一摸、比一比，这就是一种很好的通过直观方式建立联系的教学手法，能不能在此基础之上，把这样的联系加固得更牢呢？经过思考，既然要发挥学生的主体性，最后达到“动可见 思可现”的目标，何不在原先的基础上再增加一个环节：让学生自己创造一个“1立方厘米”！通过学生动手创造的环节，学生用自己的双手感受“1立方厘米”模型是如何建立的，把标准的模型、自己动手创造的模型和脑海中建立的模型进行联系、比较，进而建立起一个正确的、可操作的模型。

直观想象，数学建模，如何培养学生形成这些核心素养，是每一个数学老师应该关注的。课堂教学应注意建立两者之间的联系。数学建模、动手操作的目的都是为了学生在解决问题时能够快速地通过直观想象去思考、去分析，同时学生动脑、动手操作直观学具，也是加固数学建模准确性的方法。当学生在课堂上脑动、手动，多感官参与课堂研讨，所思所想也就自然流露在课堂中了。“动可见 思可现”，从而使学生的空间思维力静静地生长。