例谈数学抽象函数的解题方法

上官志薇

【摘 要】 抽象函数是高考数学中的重点和难点内容，原因在于抽象函数题目所给条件是有限的，只有函数的部分特点。但学生已经学习了基本初等函数的相关内容和函数特性，因此，只要掌握方法，我们就可以将抽象函数问题进行分类，逐个攻破。

【关键词】 高中数学;抽象函数;解题策略

一、理解符号，求定义域

定义域是学习和了解一个函数基础的、最先应该考虑的内容。因此，遇到抽象函数，我们首先应该理解题目中符号的意思，同时与学习过的基本初等函数进行归纳和对比，最终才能得出结论。

抽象函数求定义域的问题一般有两种形式：①已知f[g（x）]定义域，求f（x）定义域;②已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域。同时，这两种形式的本质也并没有变化。我们可以将f（x）看作f[h（x）]，那么两种问题就都可以转化为已知f[g（x）]定义域，求f[h（x）]定义域的问题。我给大家举了一个具体的例子：已知函数f（x2）的定义域是[1，2]，求函数f（x）的定义域。解题时，首先进行变式，那么g（x）=x2，h（x）=x;接着进行分析，已知函数f（x2）的定义域是[1，2]，那么g（x）的范围就是[1，4]，由g（x）与h（x）取值范围相同可得，h（x）的取值范围同样是[1，4]，最终得出x的取值范围是[1，4]，即函数f（x）的定义域为[1，4]。接下来，为了便于学生理解，我又出了一个稍显复杂的题让大家解决：已知函数f（x）的定义域为[-1，2]，求函数f[log2（3-x）]的定义域。看来大家把我之前对于两种形式本质的解读了解得很彻底，很快就给出了解决方案。首先进行变式，那么g（x）=x，h（x）=log2（3-x）;接着进行分析，已知函数f（x）的定义域是[-1，2]，那么g（x）的范围就是[-1，2]，由g（x）与h（x）的取值范围相同可得，log2（3-x）的范围就是[-1，2]，最终进行求解可以得出x的取值范围是[-1，]，即函数f[log2（3-x）]的定义域为[-1，]。

求解定义域是抽象函数问题中最容易理解的，但这并不代表对学生能力的要求有所降低。相反，学生更要理解定义域和取值范围之间的转化及具体定义，才能够正确、灵活地解题。

二、正确赋值，求解值域

对于抽象函数问题来说，题中的已知条件一定是足够充分的。求解值域与求解单调性等问题不同，它对于临界值的要求更高，并不仅止步于趋势。因此，学生一定要学会根据条件和函数特点正确赋值，才能求解值域。

如在给同学们讲解如何求抽象函数值域的问题时，我着重强调了根据其特点进行正确赋值的重要性。但是说起来容易做起来难，大家还是不太清楚赋值的具体用法。因此，我拿出一个典型例题为大家讲解：已知函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f（x+y）=f（x）f（y）总成立;且存在x1≠x2使得f（x1）≠f（x2），求函数f（x）的值域。首先，我们可以发现，令x=y=0，可得f（0）=f2（0），那么f（0）=0或f（0）=1。接下来进行验证，若f（0）=0，则f（x+0）=f（x）f（0）=0，即f（x）=0在实数集内成立，不存在x1≠x2使得f（x1）≠f（x2），不符合题意，因此f（0）=1。同时，根据题中“对于任意实数x、y，f（x+y）=f（x）f（y）总成立”可得f（x）=f（+）=f（）·f（）=f2（）≥0。接下来我们就只需要判断在实数集中，是否存在x0使得f（x0）=0即可。假設是存在的，那么f（0）=f（x0-x0）=f（x0）·f（-x0）=0，不符合我们一开始对于f（0）=1的求解，因此，很显然，x0是不存在的。最终可得f（x）>0，即函数f（x）的值域为（0，+∞）。

由此可以看出，对于像0、1等比较特殊的数字来说，一定要先根据运算规则进行计算，才能为后面的求解打开思路。同时，大家还得注意，赋值并不仅局限于“值”，合理赋“符”和“字母”也是求解的关键。

三、转化变量，求解析式

对于函数来说，因变量随着自变量的改变而变化。因此，在已知抽象函数解析式特征的情况下，我们可以通过转化变量进行代数式相消，从而简化表达形式，最终得到函数的解析式。

对于求解析式的题型，题中可能给出分数、指数和对数等形式。在讲解这一部分内容时，我拿一个分数形式的题为例，向学生详述了通过转化变量求解析式的具体用法及过程：设对满足x≠0、x≠1的所有实数x，函数f（x）满足f（x）+f（）=1+x，求函数f（x）的解析式。显然，我们现在的目的就是通过转化变量来简化其表达形式。首先，令题中所给条件f（x）+f（）=1+x为式①，将x=代入式①得到式②f（）+f（-）=。这时候，式②中引入了新的函数形式f（-），因此，我们将x=-代入式①得到式③f（-）+f（x）=。最后，要消去除f（x）外的函数形式，通过①-②+③并简化得到最终结果：f（x）=。不难看出，求抽象函数解析式的核心在于消去多余变量。这就需要学生注意观察解析式的特点并进行分析、合理转化，才能进一步计算并且最终求得函数解析式。

很显然，如果不清楚转化变量的方法，学生求解抽象函数解析式时将会没有方向。同时，每一道题目的转化方式也不可能完全相同，因此，教师一定要鼓励和引导学生多多计算和练习，才能熟练掌握。

函数的性质和表达式本就是多变的，同样的，抽象函数的变通性也很强。但是万变不离其宗，抽象函数的解决都离不开定义域、值域和表达式这几个方面。因此，只要大家仔细琢磨、勤加练习，就一定能够学好这个知识点。

【参考文献】

[1]唐海燕.高考数学抽象函数解题方法研究[J].新校园，2017.

[2]陈小珍.抽象函数的几类常见问题及解题方法[J].知识文库，2016.