一题多变 思维提升

摘 要：本文以一道模拟试题为素材，对试题不断进行变式，最终达到一般性结论，这可以拓宽学生的思维，提高学生的解题能力，增强学生学习数学的兴趣，同时体现数学的美和数学的博大精深.

关键词：变式研究;拓展思维;解题能力

通过一题多变的训练可以激发学生把问题多元化，由浅及深.一题多变的目的在于思维的“激发性”与“创造性”，在于让学生从多变中分析出解题的本质，获得思维水平更高的提升.本文通过一道平面向量试题的多变及解析，希望对学生学习解题有所帮助.

1 题目呈现与解析

题目 已知点O是ΔABC的外心，AB=4，AC=2，则AO·（AB+AC）=（ ）.

A.10 B.9 C.8 D.6

解析 AO·（AB+AC）=AO·AB+AO·AC

=AB·AO·cos∠OAB+AC·AO·cos∠OAC

=12AB2+12AC2=10.

故选A.

2 题目变式与解析

变式1 已知点O是ΔABC的外心，AB=4，AC=2，AC·AB=-2，若AO=xAC+yAB，则x+y=.

解法1 因为AO=xAC+yAB，

所以AO·AC=4x-2y，AO·AB=-2x+16y.

即4x-2y=2，-2x+16y=8.解得x=45，y=35.

故x+y=75.

解法2 如图1建系，A（0，0），C（2，0），B（-1，15）.BC的中垂线为y-152=155（x-12）.

令x=1时，y=3155，即O（1，3155）.

因为AO=xAC+yAB，所以x=45，y=35.

故x+y=75.

变式2 （2018年吉林松原模拟）已知△ABC外接圆的圆心为O，AB=2 3，AC=2 2，∠A为钝角，M是BC边的中点，则AM·AO等于（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

解析 因为M是BC边的中点，

所以AM=12（AB+AC）.

因为O是△ABC的外接圆的圆心，所以AO·AB=AO·ABcos∠BAO=12AB2=12×（2 3）2=6.

同理可得AO·AC=12|AC|2=12×（2 2）2=4.

所以AM·AO=12（AB+AC）·AO=12AB·AO+12AC·AO=12×（6+4）=5.

故选C.

变式3 （2018年山西四校联考）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|，则BA在向量BC方向上的投影为（ ）.

A.32 B.32 C.3 D.-32

解析 △ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形，且∠A=π2.

又因为|OA|=|CA|，所以∠C=π3，∠B=π6.

所以AB=3，AC=1.

故BA在BC方向上的投影|BA|cosπ6=32.

故选A.

变式4 （原创题）已知O是ΔABC内一点（包括三边），AB=4，AC=2，AC·AB=-4，

若AO=xAC+yAB，则x+2y的最大值是.

解析 如图3建系， A（0，0），B（4，0），C（-1，3），设O（x0，y0）.

因为AO=xAC+yAB，所以x0=-x+4y，y0=3x.①

因为O（x0，y0）是ΔABC内一点（包括三边），

则满足y0+3x0≥0，y0≥0，35（x0-4）+y0≤0.②

将①代入②得x≥0，y≥0，x-1+y≤0.

问题转化为：x，y满足x≥0，y≥0，x-1+y≤0，求x+2y的最大值，画出x，y的可行域.

当x=0y=1时，x+2y取最大值2.

变式5 （2009年安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图4所示，点C在以O为圆心的AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

解析 设OA与OC的夹角为θ，则OB与OC的夹角为2π3-θ.|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c.

所以OC=ca·sin（2π3-θ）sin2π3OA+cb·sinθsin2π3OB

=sin（2π3-θ）32OA+sinθ32OB.

所以x=sin（2π3-θ）32，y=sinθ32.

所以x+y=sin（2π3-θ）32+sinθ32=23（32cosθ+32sinθ）=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）.

因為0≤θ≤2π3，所以π6≤θ+π6≤5π6.

所以12≤sin（θ+π6）≤1.

所以1≤x+y≤2.

所以x+y的最大值是2.

推广 已知向量OA和OB不共线，OA=a，OB=b，OC=c，且OA与OC的夹角为θ，OB与OC的夹角为φ，

（1）当点C位于第Ⅰ，Ⅲ区域时，则有 OC=ca·sinφsin（θ+φ）OA+cb·sinθsin（θ+φ）OB;

（2）当点C位于第Ⅱ，Ⅳ区域时，则有 OC=ca·sinφsin（φ-θ）OA-cb·sinθsin（φ-θ）OB.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[2]吕二动. 一道以解析几何为背景的最值问题的多角度思考[J]. 理科考试研究，2019，26（07）：18-20.

[3]刘占权.一道“希望杯”试题解法的深入研究. 数理化学习（高中版），2017（08）：30-31.

（收稿日期：2019-11-12）