用数形结合思想求解2019年高考全国Ⅱ卷函数解答题

吴天斌

摘 要：本文运用数形结合思想求解2019年高考全国Ⅱ卷理科第20题，例析由数想形、由数画形、以形助数、由形化数在解函数题中的应用.

关键词：函数解答题;零点;数形结合

函数解答题往往是高考数学中难度最大的，它不仅运算量大，更为重要的是立意新颖，构思精巧，思维容量大，大多数考生找不到解题的切入点与突破口，而心生畏惧，一筹莫展.数形结合思想往往是解决该类问题的有力杠杆与指路明灯，下面就以2019年高考全国Ⅱ卷理科函数解答题为例，例析由数想形、以形助数、由形化数、数形兼备在求解函数零点等相关问题中的应用.

1 试题呈现

试题 （2019年高考全国Ⅱ卷理科第20题）已知函数f（x）=lnx-x+1x-1.

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点;

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线[1].

2 试题解析

2.1 第（1）问解析

思路1 （直接判断法）先对函数f（x）求导，结合定义域判断函数的单调性，画出f（x）草图，取一些特殊函数值，然后结合零点存在定理证明函数f（x）有且仅有两个零点.

解法1 函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+

）.

由f（x）=lnx-x+1x-1，得f ′（x）=x2+1x（x-1）2.

因为函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+

），所以f ′（x）>0恒成立，即函数f（x）在（0，1）和（1，+

）上是单调增函数，如图1所示.

根据函数f（x）的单调性与函数值的特殊性，得

f（1e2）=-2+e2+1e2-1=3-e2e2-1<0，

f（1e）=-1+e+1e-1=2e-1>0，

f（e）=1-e+1e-1=-2e-1<0，

f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0.

所以f（1e2）·f（1e）<0，f（e）·f（e2）<0.

由零点存在定理与f（x）单调性知f（x）在（0，1）与（1，+

）上各有一个零点，所以函数f（x）在定义域（0，1）∪（1，+

）内有2个零点.

评注 大多数考生想不到画f（x）的草图.实际上，结合函数图象才更容易想到特殊值lne=1，lne2=2，ln1e=-1，ln1e2=-2.正是这些考生最熟悉而又与题目息息相关的东西帮助他们顺利求解此题.所以说，图形就像一根杠杆，发挥着四两拨千斤的作用，指引着考生顺利求解题目.

思路2 （极限、极值、最值分析法）先對函数f（x）求导，结合定义域判断函数的单调性，画出f（x）草图，求端点极限值或极值或最值，比较它们与0的大小关系;再结合零点存在定理证明函数f（x）有且仅有两个零点.

解法2 函数f（x）的单调性同解法1，如图1.

①x∈（0，1），当x→0+时y→-

，而x→1-时y→+

，由f（x）单调性和零点存在定理知，当x∈（0，1）时，函数f（x）有唯一的零点;

②x∈（1，+），当x→1+时y→-

，而x→+

时y→+

，由f（x）单调性和零点存在定理知，当x∈（1，+）时，函数f（x）有唯一的零点.

所以函数f（x）在定义域（0，1）∪（1，+

）内有2个零点.

评注 x→0+指的是变量x从0的右侧趋向于0，x→1+指的是变量x从1的右侧趋向于1，其余类似.这种做法是把解法1推向于极限情形，更直接地解决问题，只不过对考生的知识、能力要求更高.

思路3 （函数分离法） 先对函数f（x）求导，结合定义域判断函数的单调性，然后令f（x）=0，将所给函数分离成两个我们熟悉的函数，两个新函数的交点个数即为原函数的零点个数.

解法3 函数f（x）的单调性同解法1，如图2.

根据函数f（x）的单调性与函数值的特殊性，得f（e）=1-e+1e-1=-2e-1<0，f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0，所以f（e）·f（e2）<0.

由零点存在定理得f（x）在（1，+）上有唯一一个零点x1，即f（x1）=0.

又0<1x1<1，f1x1=-lnx1+x1+1x1-1=-f（x1）=0，故f（x）在（0，1）上有唯一一个零点1x1.

综上，函数f（x）有且仅有两个零点.

评注 由（1，+

）上的函数零点x1，猜测1x1是函数f（x）在（0，1）上的零点，这不仅仅是创新，更是来自平时解题经验的总结与灵感的涌现.

解法4 函数f（x）的单调性同解法1.

函数f（x）=lnx-x+1x-1在（0，1）∪（1，+

）的零点个数，即为方程lnx=x+1x-1（0

它们有且仅有两个交点，即最初的函数f（x）=lnx-x+1x-1（0

评注 数形结合思想的本质是转化，由函数零点转化为两个我们最为熟悉的函数的交点，把复杂问题转化为较容易的问题，是数形结合思想的灵魂和精神所在.有时候，一个图形胜过千言万语，把数学的简捷美、直观美、形象美体现得淋漓尽致，这不但能简化运算，降低试题难度，而且还能激发学生学习数学的兴趣.

2.1 第（2）问解析

思路1 先求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l，然后证明当曲线y=ex的切线l′的斜率与l斜率相等时，曲线y=ex的切线l′在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可.

解法1 如图4所示，x0是f（x）的一个零点，所以f（x0）=lnx0-x0+1x0-1=0.即lnx0=x0+1x0-1.

由y=lnx得y′=1x，所以曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的斜率k=1x0.

故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线l的方程为y-lnx0=1x0（x-x0）.

而lnx0=x0+1x0-1，所以l的方程为y=xx0+2x0-1，它在纵轴的截距为2x0-1.

设曲线y=ex的切点为B（x1，ex1），过切点B（x1，ex1）的切线为l′.由y=ex得y′=ex，所以在B（x1，ex1）处的切线l′的斜率为ex1.

因此切线l′的方程为y=ex1x+ex1（1-x1）.

当切线l′的斜率k1=ex1等于直线l的斜率k=1x0時，即ex1=1x0，得x1=-lnx0.

切线l′在纵轴的截距b1=ex1（1-x1）=e-lnx0（1+lnx0）=1x0（1+lnx0）.

而lnx0=x0+1x0-1，所以b1=1x0（1+x0+1x0-1）=2x0-1.

直线l，l′的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线l，l′重合.故曲线y=lnx在A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.

评注 函数解答题给考生最大的痛点是抽象，数形结合思想却很好地解决了这一问题，化抽象为具体、化复杂为容易、化陌生为熟悉，根据图象我们很容易想到函数y=ex的切线斜率为1x0，之后问题就迎刃而解了.

思路2 要证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线，首先求得这条切线的斜率k=1x0，所以必须在曲线y=ex上找一点B（x1，ex1），使y′=ex1=1x0，从而求得点B的坐标（-lnx0，1x0），结合f（x0）=0得直线AB的斜率，再由导数的几何意义确定曲线y=ex在点B（-lnx0，1x0）处的切线斜率及曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线斜率，从而使问题得证.

解法2 因为1x0=e-lnx0，所以点B（-lnx0，1x0）在曲线y=ex上.

由题设知f（x0）=0，即lnx0=x0+1x0-1.

如图4所示，连接AB，则直线AB的斜率KAB=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.

因为曲线y=ex在点B（-lnx0，1x0）处切线的斜率是1x0，曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处切线的斜率也是1x0.

所以曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处切线也是y=ex的切线.

评注 为什么选点B（-lnx0，1x0）在曲线y=ex上，绝非偶然，而是事先分析出函数y=ex的切线斜率等于1x0，推得切点B（-lnx0，1x0）的坐标，之后反向解析、论证.

在面对山重水复疑无路的解题困境时，数形结合思想往往是柳暗花明又一村的有效途径，所以我们要一边演算，一边思考，一边修正草图，画出与之匹配的图形，通过数与形的结合，将抽象问题具体化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，这不仅有利于考生快速地找到解决问题的切入点、突破点，摸索到解题思路，弄清问题实质真相，而且有助于减轻考生对函数解答题的恐惧心理，指引考生顺利求解，成功登顶.

参考文献：

[1]杜志建.金考卷特快专递2019年全国各省市高考试题汇编[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2019.

（收稿日期：2019-11-12）