“位值”背后的基本活动

□郜舒竹

如果把知识视为是在活动中习得或生成的，技能是在活动中提升并熟练的，思想是在活动中感悟并凝练的，经验是在活动中产生并积累的，那么让学生有机会经历“基本活动”，就成为数学课程目标的核心。

“课标”中所说的基本活动经验指的是“数学的……基本活动经验”，不妨先把定语“数学的”去掉，关注一下人们日常的活动与数学的关系。下面以小学数学课程中“位值（Place Value）”的认识进行说明。

一、什么是“位值”

“位值”一词，应当是从英文“Place Value”翻译而来的，指的是在十进制记数时，用有限的十个数字符号“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”，表达无限多的自然数。位值是一种人为规定的规则，即并排写出的数字，在不同的位置所表示的值是不同的。比如“22”，表面看两个数字符号“2”并列，但个位的“2”表示两个“一”，而十位的“2”表示两个“十”，因此“22”表示的是“两个十和两个一”。简单说，位值就是“位置有值”。

位值作为人为规定的一种记数规则，实质是把数作为语言进行书写表达的语法，是人类智慧的体现，这种智慧表现为用0～9 这有限的十个数字符号，表达出无限多的自然数，实现了有限与无限的对立统一。因此，成为全世界不同国家、不同语言、不同文化共同接受的记数方式，也成为所有不同国家、不同语言、不同文化的数学课程中必不可少的共同内容和文化。

作为数学课程内容，位值可以说贯穿教学的始终。小学阶段关于整数的认识、计算，以及小数、分数的认识、计算等等，初中阶段关于有理数的认识、计算等等，都离不开对位值的理解。

直观上看，位置上的值是看不见的，具有表里不一的特点，因此会导致认知的困难。特别是低龄儿童刚开始学习的时候，比如教学实践中发现，类似于“33-3＝3”的错误极其普遍，究其原因，是把并列的两个3，即“33”看作“3 和3”的关系，忽略了位置上的值，“33-3”的运算就成为“从3和3中拿走一个3，自然还剩下一个3”。而位值作为规则，规定“33”表达的是“30和3”，其中的“30”从“33”的外表中是不可见的。正是这样的表里不一，使得位值对于低龄儿童具有抽象性，这样的抽象性自然会导致普遍性的认知困难。

“也不是的，我二三十岁时很想结婚。但最初的几次婚姻，更像是彩排。后来，我找到了能过一辈子的女人，是她遏制了我结婚或离婚的惯性，但她婚后几个月就死了。”

数学课程中诸如此类具有抽象性的内容很多，为了寻求更有效的课程设计与教学实施的方法，先简要介绍与“涉身认知（Embodied Cognitive）”有关的几个概念。

基于“生成论（Enactivism）”的认知科学有一种涉身认知的说法，其基本假设源于生物学，认为所有生物体（包括人）的认知活动，都是自身身体、大脑在与外部环境的互动中进行的，倡导让大脑回归肉身，认知是涉及身体以及身体活动的。知识并不仅仅是吸收和表征的，而是在与环境互动过程中生成的。生成论否定知识的静态观念，认为知识本身就是过程，强调“做即知，知即做”[1]。

涉身认知否定认知活动是单纯的头脑中的智力活动，强调认知活动的涉身性，即身体以及身体活动的不可或缺。其中两个核心词汇分别是“意象图式”和“隐喻”，下面结合几乎每位学生都要反复经历的“上学”的过程进行说明。

二、“上学”的活动

不妨把上学的过程概括为如下的系列活动，这些活动都是人的身体需要参与并经历的。

●出门前需要“收拾书包”；

●背上书包“走出家门”；

●路上“乘坐公交车”，也可能是其他交通工具；

●到达学校“进入教室”。

整个“上学”过程中，出现了诸如“书包、家、公交车、教室”这些对象（Object），相当于涉身认知中所说的外部环境。整个上学的过程，就是人身体与这样的环境互动的过程。

所有这些对象共同的特征是，都有“内部”和“外部”，人身体的活动自然就包括“从外到内”和“从内到外”。收拾书包的过程有“取出”和“放入”的活动，家的房间和教室的房间都有“走进”和“走出”的活动，公交车有“上车（进入车厢）”和“下车（走出车厢）”的活动。诸如此类“出—入”的活动，是包括低龄儿童在内的大部分人每天都会反复经历的。

提及书包、房间、车厢，头脑中自然会浮现出相应的影像（见图1）。

这样的影像在认知科学（Cognitive Science）中叫作“意象（Image）”，也就是头脑中的图像（Picture in mind）。结合这些意象，“内—外”的空间关系，以及人身体“从内到外”和“从外到内”的活动，头脑中就会产生一个结构（System）或模式（Pattern），这样的结构或模式也叫“图式（Schema）”，其实就是通常所说的思维方式。

这样的思维方式是在反复的互动过程中无意识地、自然而然地形成的。鉴于“内—外”的空间关系以及“出—入”的身体活动，都具有容纳、包容的特征，因此这种思维方式可以命名为“容器（CONTAINER）”图式[2]，是诸多意象图式（Image Schema）中的一种（见图2）。

图2 容器示意图

图3 容器图式示意图

意象图式是从相对具体的意象中得到的，其作用一方面是对人身体有共性的日常活动或行为的概括，另一方面可以将其应用于其他更多、更广泛的活动。比如人用餐过程中的盛饭、吃饭，其中的饭碗、嘴也都具有内—外的空间关系，人身体的活动同样具有出—入的动作，因此也可以纳入到容器图式中。

意象图式同时具有涉身性和概括性，往往用较为简洁的图形来表示。比如前面所说的容器图式，通常用图3的大小两个圆，表示容器的内外关系以及出入的活动。对意象图式进行研究意在系统概括人的活动方式，鉴于人日常活动的多样性和复杂性，使得意象图式的研究成为一个开放的领域，也即不会穷尽。

进一步看“上学”的过程，收拾书包时会出现全部取出，使得书包变空的情况；也可能出现东西太多，装不下的情况。乘坐公交车时可能出现车厢无乘客的空车厢情况，也可能出现人满为患上不去的情况。这些经验都与容器的“空”与“满”类似，反复的经历使得头脑中会形成“空—满”的意象，面对空就是没有对象，还可以进入，进入可以使得容器中从无到有；对于容器的“满”，就意味着无法进入，需要有出，才能有入。这就形成了另外一种意象图式，可 以 命 名 为“ 空— 满（Empty-Full）”图式，通常用图4两个圆进行对比表示。其中左侧圆表示“满”，右侧圆表示“空”。

更进一步，收拾书包时书包中会放入教科书、作业本、笔袋（笔盒）等不同类型的物品；进入公交车会看到男人、女人、老人、年轻人、儿童等不同类型的人；进入教室会发现有同学已经来到，有同学还没来到，有同学在打扫卫生，有同学在读书，等等。经历这些过程所形成的意象，使得人自然而然产生同中求异、异中求同的思维方式，也就是形成“类别”或“分类”的意象图式。可以命名为“类别（COLLECTION）”图式。

类别图式在人日常行为中的应用极其广泛，比如在书架上摆放图书，会遵循便于记忆、便于寻找的原则，因此会分门别类地进行摆放。在电脑中存放自己的文件，会依据不同类型的文件，设置不同的文件夹将文件分类，等等。

图4“空—满”图式示意图

三、容器与位值

图5 认识位值示意图

前面利用“上学”过程中的活动，介绍了与“出—入”活动有关的思维方式，分别为容器、空—满以及类别三个常见的意象图式。鉴于出—入活动的经常性和重复性，可以把容器图式作为设计学习活动中的已有经验。

对于抽象的认识对象，认知科学通常运用“类比（Analogy）”，也叫作“隐喻（Metaphor）”的方式进行理解。比如一个人很有学问，但这些学问从人的外表是看不见的，“满腹经纶”这一成语就是一个类比或隐喻的说法，把人身体中的“腹”看作容器，用“满”表示多，运用了容器图式进行类比。再比如人的“信心”也是一个抽象的概念，存在于人的心理中，是成就事业重要的心理因素。因此会有“信心满满”的说法，把人的心理类比为容器，用“满”隐喻“充足”。类似的隐喻还有满心欢喜、心满意足等。

对于位值，同样可以运用与容器相关的思维方式进行理解。比如，可以将两位数中的十位和个位这两个位置，分别看作是两个容器。首先应当认识两个容器中所容纳的对象是不同的。个位容器中容纳的个体对象是“一”，十位容器中容纳的个体对象是“十”。为了便于动手操作，可以利用如图5的学具。

图5 中白纸上纵向划分出的三个区域，从右到左分别表示个位、十位、百位的三个容器。个位容器中容纳的对象用正方体小木块表示，十位容器中包含的对象用10 个小木块连接而成的“小木条”表示，同样百位容器中容纳的对象用10个小木条连接成的正方形小木板表示。

用容器类比数位过程中，还会用到空—满图式的思维方式。空时表示没有，满10个时，就需要取出，并把这10个小木块变为一个小木条，放入左侧的十位容器中。

学生在学习过程中，如果有机会反复经历在每个数位容器中“放入、取出”的活动，自然而然地就会将位值的认知纳入头脑中业已形成的容器图式中，也就使得位值的抽象性得以具体化。

容器图式在数学学习中的应用十分广泛，比如竖式计算中的“进位”和“退位”，其实质就是将数位视为容器所进行的放入和取出的活动。对于方程的认识，比如x-3=5，可以将其中的“x”看作容器，解方程的过程就是寻找一个恰当的数放入其中，使得等式两边相等。中学数学课程中的函数表达式y=f(x)，起初人们就是把变量“y”看作是包含着变量“x”的容器，这也是函数一词中“函”的来源[3]。因此数学教学中结合与容器相关的日常活动，设计学生的学习活动，是十分有益的。