直面核心知识 关注理法相融——小学数学运算能力培养例谈

□凌璐予 徐丹红

运算能力是数学学科核心素养的关键能力之一。对于小学数学教学而言，运算能力的培养是重中之重，也是基础中的基础。根据《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对“运算能力”所做的明确的定义，我们可以这样理解“运算能力”：运算能力不等同于计算能力，它不仅是会算、算正确，掌握算法，即知其然；还包括对于运算本身，也就是对算理的理解，即知其所以然，在此基础上灵活选择方法解决问题。因此算理的理解与算法的选择是运算的重心。

一、调查分析找问题——运算能力现状

聚焦掌握算法和理解算理，笔者对所在学校六年级的学生进行了测试，内容如图1所示。题目一和题目二指向算理理解，题目三和题目四指向运算技能的掌握。

图1

测试结果显示，题目一的得分率为54.84%；题目二的得分率为61.29%；题目三口算第一行的得分率为89.52%，第二行的得分率为68.54%；题目四第①题的得分率为90.32%，第②题的得分率为79.42%。笔者对测试结果分析如下。

1.运算技能强于运算理解

从测试结果可以发现，题目三和题目四的得分率高于题目一和题目二，特别是口算第一行和竖式计算第一题，正确率高达90%左右。由此表明学生在解决纯计算这类单一程序性题目时，能够根据运算顺序和运算法则正确地进行运算。相比之下，对于解决或解释运算意义和算理的题目，学生并不能或者不能完全读懂图形的表征方式。这种鲜明的反差，或多或少地反映了学生运算学习的一种现状，即运算技能强于运算理解。

2.运算理解影响运算技能

再看同样是纯口算的两行，第一行正确率远远高于第二行，分析原因：一是碰到稍复杂的口算题，有些学生缺乏灵活选择算法的能力，按部就班，因计算烦琐而出错；二是有些学生意图选择合理的算法计算（如图2），但方法运用错误，究其原因是对算理理解不到位，即运算理解影响了运算技能。

图2

二、追根溯源寻方法——运算能力培养

算法、算理是运算能力的一体两翼。尤其在小学数学中，两者相辅相成，不可偏废。因此，教师在课堂上应寻求算法与算理的平衡点，以核心知识入手，循理入法，以法驭理。

（一）以“整体”寻“核心”，重组内容

《浙江省小学数学教学建议》指出：“教材研读要关注整套教材的基本结构，研读单元教学内容，合理划分课时，充分考虑知识形成线索和学习认知线索，在此基础上通过补充、修改、调换、删减等方法完善教材资源。”因此，以单元视角寻找单元核心并在此基础上重组内容，能更好地凸显教学内容本质，计算教学亦是如此。以人教版三年级下册《除数是一位数的除法》为例。

1.单元分析，把握整体

此单元的主要内容有：口算除法、笔算除法和用估算解决问题，在口算除法中安排了三个例题：60÷3，120÷3，66÷3；在笔算除法中也安排了三个例题：42÷2，52÷2，256÷2。那这六道题核心知识间的联结点在哪里？不论是口算除法还是笔算除法，其实质都是平均分，核心是怎么分。区别在于表达方式不同：口算除法把分的过程用横式表示，而笔算除法将分的过程用竖式表达。在口算除法中弄清分的过程，能为笔算除法做好铺垫，因此熟练掌握口算除法至关重要。

2.学生分析，把握起点

为了了解三年级学生这一单元知识的学习起点，笔者对两所学校（一所农村小学、一所市区小学）的三年级学生做了一次小调查（如图3）。

图3

调查结果显示，第1小题，市区小学学生的正确率为97.09%，农村小学学生的正确率为90.23%。以下具体呈现第2小题的调查结果（如下表）。

算法基于算理想乘法除法意义其他（没有表达出过程、没有结果）占总人数的百分比（%）市区小学45.11 24.23 15.33 15.34农村小学40.74 7.41 25.93 27.63学生典型作品images/BZ_14_815_500_1177_658.pngimages/BZ_14_812_670_1181_755.pngimages/BZ_14_819_767_1174_965.pngimages/BZ_14_816_977_1176_1174.png

分析以上调查结果可知：无论是市区小学还是农村小学，8 道口算题的正确率都比较高，表明学生对口算除法掌握得很好，对基本的算理也比较清晰，因此这不该是教学的重心，如果仍将教材的这几道口算题贯穿口算除法教学，那起点是否太低了？

当然，高正确率并不意味着口算除法的教学可以完全舍弃。第2小题调查结果显示，百分之四十几的学生能基于算理把分的过程表示出来，但在完成第3小题时，却只有26.31%的学生能正确表述分的过程，有11.25%的学生是将42 拆分成40 和2 后平均分的，其余的学生则无从下手。为什么学生对63÷3 的算理表述得那么清晰，但对42÷3 却不知所措呢？究其原因是学生对分的过程并不清楚，只是停留在机械的模仿上，把被除数拆成十位和个位再除以3，将这样的方式迁移到42÷3 上，就会出现40÷3的情况。而类似“42÷3”这样的题是被安排在笔算除法的例2进行教学的，学生在计算这类笔算题时错误率比较高，那是因为在不理解算理的情况下直接进行笔算是有一定难度的。所以，是否可以在口算部分增加笔算除法例2 的口算教学？这样既能解释算理，也为笔算除法的学习做铺垫。

3.重组内容，把握核心

基于单元视角和学生的学情分析，我们对第一课时“除数是一位数的口算除法”做了以下调整。

第一环节：将教材编排的口算作为课前热身，并将算理进行初步表征；第二环节：探究42÷3的口算方法，跟进练习84÷3，并进行对比，凸显算理；第三环节：练习，例题内容巩固。

重组凸显两个方面的意图：一是减少类似“60÷3”这样的口算练习，避免重复教学导致学生感到无趣现象的出现。二是加强类似“42÷3”这样的口算训练，既能更好地帮助学生理解算理，防止机械模仿，又能突破笔算除法例2 的教学难点，为后面的学习做好铺垫。

（二）以“事理”明“算理”，循理入法

在真真切切的情境操作中慢慢感知、逐步体验更符合小学生的认知规律。因此，教师可通过直观的操作活动将抽象的算理具体化、形象化，循“理”入“法”，以“理”驭“法”，实现“感悟”算理到“生成”算法的跨越。

1.借直观学具，以“事”明“理”

借助学具可将算理清晰地进行表述，从而更好地掌握算法。如在上述探究42÷3 的过程中，可以先留时间让学生想一想。然后让学生借助小棒分一分，将42 分成3 份的过程动态地、直观地予以呈现。同时提出两个核心问题：“你是怎么分的？”“余下的1捆怎么办？”这样既聚焦难点，又使教学变得简洁明了。

2.借几何模型，以“图”明“理”

几何模型能将抽象的算理直观化。如在教学“两位数乘两位数”的例题14×12 时，可借助点子图清晰地展示不同竖式其算理的内涵：图4-1表示先分别计算10个14和2个14，再把积相加；图4-2表示先分别计算4 个12 和10 个12，再把积相加。结合学生所熟悉的表格显示口算过程，再沟通点子图、口算乘法与乘法竖式之间的内在联系，实现算法与算理的有效融合。这样不仅帮助学生在算理意义建构的基础上理解算法，还培养了学生使用直观模型进行思考的意识，获得解决新问题的策略和方法。

图4-1

图4-2

如果对每一步中的两位数乘一位数和两位数乘整十数再进行拆分（如图5），就会发现这两种算法的过程是一样的，只是顺序不同而已。学生从点子图中能清晰地看到表格和竖式中每一小步表示的意思，对抽象的算理自然就明白了。有了这样的直观模型，把整数乘法迁移到小数乘法（图1 中的题目一）就水到渠成了。

图5

（三）以“不变”应“万变”，凸显主干

教师在日常运算教学中常常鼓励学生探索不同的算法，意在开阔学生的思维，体会算法的多样性，这是培养学生思维能力的有效途径。但应该明确的是，追求算法多样化本身并不是目的，在“数的运算”教学中，不能过于渲染缺乏迁移价值的多种算法而干扰运算的主干算法。

1.选择学习材料，强化主干

比如在上述《除数是一位数的口算除法》中，如果用32÷2 作为探究口算除法的材料，学生会出现两种算法：（1）20÷2=10，12÷2=6，10+6=16；（2）30÷2=15，2÷2=1，15+1=16。两种算法都能得到准确结果，但第二种算法具有局限性，而第一种算法能为后续笔算做铺垫。如果要凸显第一种主干算法，那么32÷2这一口算材料显然就不太合适，而采用42÷3 就能迫使学生选择算法（1），因为40÷3 是有余数的，学生自然会舍弃算法（2）。由此可见，选择合适的学习材料，凸显主干方法，能帮助学生深刻理解算理，也能为笔算做铺垫。

2.鼓励方法变式，灵活算法

凸显主干方法并不意味着“死板”和“一成不变”。我们常说算法的选择应根据内容、数据而定，合理、灵活地选择算法才是运算能力的体现。但这样的合理与灵活，往往是建立在对主干算法深刻理解的基础上的，从而衍生出基于主干算法的变式。比如三位数乘一位数的笔算方法中，大部分学生是这样列竖式计算的（如图6），这是三位数乘一位数的主干算法。但是像这样连续进位的笔算错误率会比较高，究其原因是小学生头脑中储存信息的能力有限，他们把注意力放在暗记进位的数字和乘加运算上了。学生长时间进行这样的计算，会不自觉地把思维的重心偏向乘加进位口算技能，而弱化对乘法算理的理解。为了避开因乘加而造成的计算困扰，可以采用下列方法（如图7）。

图6

图7

图8

这两种方法和列竖式方法体现的算理是一样的，都是拆分149，其中左边的方法是拆成7 个109和7 个40，我们把这种方法称为“踢十法”，这样就减轻了学生的思维负担，没有了乘加两步计算，不仅正确率能有所提高，而且学生把思维的重心放在了算理上。有了“踢十法”，学生还会迁移运用“踢百法”“踢个法”，所以在解答其他笔算题目时，学生出现了图8的做法。

总之，在数的运算教学中，教师不仅要关注学生运算技能的掌握，更要关注学生理解算理、掌握算法的学习过程。只有将算理与算法有机融合，才能更好地培养并发展学生的运算能力。

参与文献：

[1]董文彬.从运算能力走向运算素养——关于运算及运算教学的思考[J].教育科学论坛，2019（28）.

[2]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]杨金风.内蒙古自治区五年级学生数学运算能力现状及发展[D].北京：中央民族大学，2016.

[4]黄翔.理解把握数学课程标准中的核心概念（二）——《义务教育数学课程标准（2011 年版）》解析之四[J].小学数学教育，2012（7-8）.