观察、操作、想象：让空间观念发展清晰可见——“‘图形的运动’练习课”教学实践与评析

□郭建平 执教 顾志能 评析

【课前思考】

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课程标准》）中有一道例题（例35）引发了我们的关注。这道例题的名称为“图画还原”（如图1），要求是“打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原，并利用平移、旋转记录还原步骤”。例题说明指出：通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方案的过程。

图1

这道题素材简单有趣，吸引眼球，正适合训练学生的观察能力。其形式为图画还原，学生操作方便，动手能力、探究能力可得到锤炼；其内涵涉及平移、旋转，学生可综合运用这些知识解决问题，应用能力也可得到发展……更为重要的是，这是一个发展学生空间观念的绝佳载体。比照《课程标准》中对空间观念的刻画描述，我们发现，这道题既可以引导学生想象图形之间的位置关系，又可以让学生去描述图形的运动和变化，还可以让学生根据数学语言的描述画出图形。

基于以上思考，我们决定以例35为蓝本，开发一节“图形的运动”练习课，其目标指向主要有两点：以问题解决为驱动，使学生巩固对平移、旋转和轴对称三个知识（技能）的掌握；通过丰富的学习形式（活动），让学生充分经历观察、想象、比较、综合等学习过程，实现空间观念的有效发展。

需要特别说明的是，例35 只要求使用平移和旋转，若把同样是图形运动方式的轴对称纳入其中，则知识更完备，内涵更丰富，也更能体现“图形的运动”练习课该有的要求。

【课堂实录】

一、唤醒旧知，引入新课

1.回忆旧知，揭示课题

师：同学们，你们已经学过图形运动的哪些知识？

（通过交流，学生回忆起“平移”“旋转”和“轴对称”三种不同的图形运动方式）

师：今天我们要进一步运用这些知识研究图形的运动。

2.创设情境，激发兴趣

师：一个笑脸拼图，有两块被打乱了（如图2）。1号图形要回到原来的位置，可以怎么运动？

图2

（学生观察后回答“向右平移2 格”，教师强调“平移要关注方向和距离”，课件演示还原过程）

师：除了平移能使1 号图形回到原来的位置，还有其他的方法吗？

（绝大部分学生想不到，教师鼓励并引导学生往“轴对称”方向思考）

师：如果把这条线当作对称轴，1号图形经过轴对称变化以后会到哪里？（课件呈现AB对称轴，如图3，教师引导学生想象，课件跟进演示）

师：从现在这个位置还原到原来的位置，还要怎么运动呢？

生：再轴对称变化一次。

（课件呈现CD 对称轴，教师引导学生想象，再动态演示）

（评析：本环节让学生通过观察和想象，完成简单的图形还原，既有效地唤醒了学生对图形运动相关知识的回忆，又让学生感受到可以灵活选择不同的运动方式来还原图形。）

图3

二、动手操作，深入探究

1.情境跟进，自主探索

师：2 号图形要回到原来的位置，可以怎么运动？（如图4）

图4

2.方法反馈，分享思维

（当学生各自找到还原的方法后，教师组织学生进行反馈）

生：我把2 号图形原地旋转，然后向左平移2格，再向下平移1格。（学生上黑板操作演示）

师：怎么原地旋转？（根据学生回答，引导学生明白在讲旋转时要讲清楚旋转中心、方向和角度）

生：我是把2号图形向下平移1格，再向左平移1格，再沿左侧线轴对称1次，就还原成功了。

（教师请听懂的学生再次上台操作演示，确认能还原）

生：我的方法不一样。我先把2号图形向左平移2 格，再绕点逆时针旋转90°。（学生讲的点是格子图上的一个交点。他上黑板演示到这一步时，教师适时引入“数对”概念，引导学生讲得更明白）

……

（评析：本环节引导学生灵活运用图形运动的三种方式解决问题，通过展示交流多样化的还原方法，让学生打开了思路，分享了经验，丰富了思维。）

小学数学教育信息化是新时代教育的必然选择。当下，部分教师素质较低，与学生沟通能力较差，对于小学数学教育信息化的理念和方法，并没有较好地理解，以至于在教育的效率和质量上，都没有获得良好的提升，最终产生的教育问题较为显著。此种情况下，小学数学教育信息化的策略部署，必须按照科学、合理的模式来进行，对于多方面的问题和不足进行积极的弥补，促使未来的教育工作水平能够获得更好的提升和进步。

3.再次体验，规范记录

在展示了学生的多种还原方法之后，教师也用课件演示了另一种方法（如图5），并运用数学语言规范地记录下来，如“2 号图形绕点（3,3）逆时针旋转90°，再向左平移1 格，再向下平移1格”。

教师鼓励学生选择自己喜欢的一种还原方法，再操作一次，并用这样的数学语言记录下来。

图5

4.游戏支撑，深化探究

图6

引入游戏，告知计分规则（如图6）。教师计算出自己那种方法的得分为3 分；学生计算各自所记录方法的得分，统计各种分值的人数（基本上是3分或4分）。

出示游戏规则——分数低者为胜（分数低说明步骤少，思维简洁），引导学生探究是否有低于3分的还原方法。学生可以借助材料单独操作，也可以合作探究，实现还原后及时记录方法。

（评析：通过游戏计分的介入，刺激了学生的求胜欲和好奇心。学生积极主动地探究是否有2 分乃至1分的还原方法，目标驱动着学习走向深入。）

5.分享最佳，引导想象

生：2 号图形绕（3，3）逆时针旋转180°，再绕（2，3）顺时针旋转90°，我这样是2分。

师：想象一下，这位同学的几个步骤，能否成功还原。（其他学生想象，教师适时用实物演示作为支撑，确认2分成功）

生：先绕（3，3）顺时针旋转180°，然后再绕（2，3）顺时针旋转90°，也是2分。

生：我发现同一个图形，绕同一个点顺时针和逆时针旋转180°，结果是一样的。

师：你太厉害了！大家再关注这个图形，绕（3，3）向两个方向旋转180°，想象一下，结果是怎样的？

生：我们是以那条斜线，即数对（4，2）和（2，4）的连线为对称轴进行1 次轴对称后，再旋转的，也是2分。（学生上黑板点出那条斜线）

师：同学们，想象一下，沿这条线轴对称变换，会怎么样？再旋转呢？

（学生想象，教师适时跟进演示）

生：我们是通过两次轴对称运动实现还原的。先以2 号图形的左侧线为轴，轴对称1 次，再以（3，2）和(1，4)的连线为轴，轴对称1次，就成功了，2分。（教师同样引导学生想象，再适时跟进演示）

……

（评析：整个活动围绕2分的还原方法展开，通过让其他学生听懂、想明白某种方法，逐步帮助学生摆脱实物操作，提升想象能力，使得思维实现从具象到抽象的慢慢过渡。）

三、自主设计，深入想象

师：笑脸图已经恢复正常了，现在如果让你任选其中的一块拼图，打乱位置，你打算放到哪里？它又可以怎样还原呢？

（教师请一学生上黑板，随意打乱一块拼图，任意放置在一个位置上，然后引导全班学生观察拼图，要求仅凭想象，思考它还原的步骤和方法）

（评析：放手让学生创设学习素材，迫使学生摆脱实物操作，只能凭借空间想象去完成任务。这样的安排，让学生的想象能力得到了再训练和再提升，虽然有难度，但是体现了思维发展的梯度要求。）

四、课堂总结，畅谈感受（略）

【课后反思】

一、精细的观察，使学生感知到位

认识几何图形的性质特征是形成空间观念的基础。而儿童获得几何图形性质特征的认识，往往是从对具体对象的观察开始的。在本课中，教师以“笑脸拼图”为素材，尤其是以还原打乱了的拼图为任务，引发学生主动聚焦图形的特征——整幅图的特征、每小块的特征、运动变化的特征。每一次的还原，无论是1号图形经过平移、轴对称的变化，还是2号图形可采用的多种形式的变化，甚至是任意打乱一块拼图后的还原，教师都先让学生展开精细的观察，然后再适时跟进操作、演示或想象。正是在对图形初始状态、目标状态、变化过程的精细观察和深入比较中，学生不断感知图形的特征，感知三种运动方式的特征，头脑中由此留下深刻的印象。这为他们空间观念的发展奠定了坚实的基础。

二、充分的操作，让学生表象清晰

儿童在学习几何图形时，并不是简单地靠识记去把握图形的名称、形状、特征及变化，更为有效的是靠操作活动，直观和真实地去感知概念，并从中构建空间观念。正是基于这样的认识，教师在这节课中安排了多次操作活动。如2号图形的还原，就是先让每个学生动手去操作（为此给每个学生精心准备了操作材料），在操作中再让学生结合观察，调用经验，积极尝试，寻找到不同的还原方法。经历这样的过程，学生的大脑中就留下了关于2号图形运动的痕迹，而这种痕迹，随着语言表达、课件演示等的跟进作为支撑，不断完善与清晰，最后深深地印在学生的头脑中，这就是表象的建立。同样道理，关于2号图形能否以低于3分的方法还原，也让学生先动手操作再交流，触觉越充分，学生的感知越到位，表象也就越清晰。

三、丰富的想象，令学生印象深刻

图形与几何学习中的想象，指的是在头脑中（心理上）对几何形体的形状、结构、特征以及位置关系，有意识地进行加工改造乃至全新创造的过程。这是一种高级的思维活动。这种思维能力的提升需要借助合适的载体进行针对性的训练。本课围绕想象做了不少文章。一是多处设置想象环节。从课中可以看到，1号图形的轴对称还原先让学生想象；2 号图形的2 分还原在学生讲方法时其他学生想象（多次）；任意打乱拼图后凭想象还原。二是想象要求拾级而上。从上述几个步骤中不难看出，想象的要求是从直观（视觉、操作）支撑到半支撑再到脱离支撑，不断进阶逐步提升的。正是有了这样的多点分布、有序推进，学生的空间想象能力才能得到明显的发展。

当然，空间观念的发展，除了上述三个要素之外，合适的材料（学具、教具、课件等），有效的交流（师生、生生等），灵活的形式（探究、推理等）……也能有效促进学生对图形的感知和把握。教学中，只要我们聚焦目标，精心设计，合理实施，学生空间观念的发展就一定卓有成效。