数学核心素养之直观想象与培养

张棋

摘要： 随着中国综合国力的不断提高，学生的教育不仅要注重知识的教学，同时还要重视对学科核心素养的培养，帮助学生高效地掌握知识以及身心的全面发展。在2017版普通高中数学课程标准中指出六大核心素养，其中直观想象是指借助几何直观和空间想象来感知事物的形态与变化，它是发现和提出数学命题、理解数学问题、梳理论证思路和运算的辅助工具。基于立德树人的使命，直观的想象力能帮助学生“形成数学和直觉”，这是通过数学的眼光观察世界来建立数学直觉的基本方法。

关键词： 核心素养;直观想象;几何直观;空间想象;培养

一、 直观想象的内涵

《普通高中课程标准（2017版）》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式尤其是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：利用空間形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形来分析、描述数学问题;建立形与数之间的联系，构建一个直观的数学问题模型，并探索解决问题的方法。从它的定义看，该素养主要涉及了两个方面，即几何直观和空间想象。

（一）几何直观

义务教育数学课程标准中，几何直观主要是指借助图形来描述和分析问题。孔凡哲、史宁中教授指出，几何直观是指借助见到的（或虚构的）几何的图像关系，直接识别和掌握数学研究对象（空间形式或数量关系）的能力。它是学生解决数学问题的手段，有利于学生了解问题的实质，理清思路，探索解决问题的方向。此外，几何直观还可以帮助学生直观地理解数学，并在教学过程中发挥重要作用。例如，在学习分数的加法时，形如 1 2 + 1 4 + 1 8 =1- 1 8 = 7 8 = 4+2+1 8 ，除了用代数理解之外，还可用图形的折半来辅助理解，往后学生遇到类似的分数加法就可以更加简便而正确地得出答案。

（二）空间想象

空间想象是数学的基本概念之一，而培养学生的空间想象力更是中学数学的主要任务之一，它包括以下三个方面的内容：（1）能根据描述空间几何形体的语言或图片，可以在头脑中形成相应的几何图形，并得到其直观图，如一提到正方形，就能想起其模样;（2）能根据所给出的直观图，在大脑中展现出相应的几何图形，甚至包括其位置关系和数量关系，例如学生学完三视图后，能根据三视图求某一空间图形的体积等等;（3）能对头脑中已有的空间几何图形进行拆分和组合，得到新的几何图形，并对它的位置关系、数量关系以及直观图进行分析，如在学习棱台时，学生能想象到棱台是指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形状。

（三）几何直观、空间想象与直观想象的关系

我们知道，几何直观是指用图形来描述和分析问题，这是感性认识;而空间想象是学生对二维平面或三维空间的图形的位置、数量关系及其性质的理解，是一种理性认识。但是根据人们的认知过程，他们总是从感性知识中认识到理性的理解，然后从理性中认识到实践的过程，而直观想象的本质是借助几何图形的直观来拓展想象的思维能力。在实践过程中，通常将几何直观思维和空间想象能力都调动起来，从而去寻求解决问题的方法和途径。

二、 直观想象的价值

（一）直观想象的数学学科价值

1. 直观想象与其他数学学科核心素养的关系

直观想象在数学的核心素养中起着重要作用，与其他素养密不可分。直观想象是数学抽象或数学建模的基础，在课堂教学中，通常需要经过直观想象对实际生活情境进行分析，探索其本质，并通过数学抽象或数学建模将其转化为数学问题。例如在解释直线垂直于平面时，教师通常将学校中的旗杆与地面的垂直抽象为直线和平面垂直;另外在函数的最值问题和线性规划中，一般都需要通过直观想象来建立模型进而解决问题。此外，在进行复杂的逻辑推理或数学运算时，人们需要利用直观想象来梳理思路，寻找方向，将复杂问题简单化，如在立体几何的证明题和导数的运算中，有时要画出图形，运用数形结合的思想来得出结果。最后，在进行大数据分析时，人们通常会运用直观想象来作出直观的图表模型，并利用相关的统计方法对数据进行分析和处理，在概率与统计中经常会运用到这一点。

2. 直观想象在解题中的运用

学数学往往离不开解题，而直观想象作为高中新课标所提出的核心素养之一，在实践中可谓应用广泛。下面举两个例子来说明。

【例1】  （2016年高考全国Ⅰ卷，理11）平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 1，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA 1B 1=n，则m，n所成角的正弦值为 （）

A .   3  2   B .   2  2   C .   3  3   D .  1 3

解析： 根据题意将图形画出来，利用直观想象来分析和转化图形的位置关系。由题可知，平面CBD 1∥平面A 1BD，因α∥平面CBD 1，可以转化为α∥平面A 1BD，由面面平行的性质可知，m∥BD，n∥A 1B，所以m，n所成的角即为BD和A 1B所成的角，即∠AB 1D=60 ° ，其正弦值为  3  2 ，故答案为 A 。

（二）直观想象的育人价值

学科的育人价值就是该学科能帮助学生在成长过程中形成独特发展的价值，它侧重于学生的发展，以学生为主体，影响和丰富学生生命的意义。而数学教育的价值在于让学生形成理性思维、科学精神、严谨求实态度;应用实践能力等等。其中，作为数学核心素养之一的直观想象，它的育人价值表现在学生该达到的目标要求上。首先，通过对数学课程的学习，发展数形结合的思维，提高几何直观和空间想象能力;其次，在思考问题时，发挥主观能动性，可以自觉地调动直观想象;最后，在实际生活中，能用数学直观的眼光看待世界并理解事物的本质。综上，就是要形成学生的数学直观。