巧用“特殊与一般思想”进行初三数学客观题解法教学

林振德

(福建省厦门市五显中学 361100)

2018年《福建省初中学科教学与考试指导意见》指出，数学基本思想着重考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想、或然与必然思想等的领悟程度.在数学研究中，由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的“特殊与一般思想”.

用“特殊与一般思想”解题的理论依据是“一般包含特殊，特殊属于一般”，其解题思路如下：

因此，对于判断型客观题，要检验一般性结论是否成立，只要验证特殊情况是否满足一般性结论要求即可判断结论是否正确.对于求值型(含化简或求值)客观题，在变量允许的取值范围内，可对变量取特殊值处理.本文重点选取近年来福建省、厦门市、部分省外中考试题及《福建省初中学科教学与考试指导意见》中的题型示例，向大家介绍“特殊与一般思想”在初三数学客观题解法教学中的妙用，期望收到抛砖引玉的效果.

一、字母类选择题,可对字母赋特殊值求解

例1如图，数轴上P、Q两点分别表示实数a、b，则下列结论正确的是( ).

A.a+b>0 B.ab>0 C.a-b>0 D.|a|-|b|>0

一般解法：观察数轴，得出a<-1,0

特殊解法：由图知，a<-1,00，|a|-|b|=-1<0，ab=-0.75<0，故选C.

结论1对于根据图形(数轴、直线、抛物线等)判断含参代数式符号的客观题，可在参数允许范围内，取特殊点(如交点、顶点、对称轴、中间点)进行验证.

例2(2017年福建4)化简(2x)2的结果是( ).

A．x4B.2x2C.4x2D.4x

一般解法：(2x)2=4x2.故选C.

特殊解法：代特殊值验证.取x=1,先淘汰A、B;取x= -1，淘汰D .

结论2对于化简问题，因属恒等变形，一般可代入特殊值进行验证取舍.

例3(2017年福建9)若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0

A.3 B.4 C.5 D.6

一般解法：

特殊解法：由0

结论3对于含多个参数的问题，应考虑从受限的参数出发，对其取特殊值，转化为验证点坐标是否满足函数方程问题.

二、判断型或探索条件型的问题用特殊值断定

例4(2016年福州11)已知点A(-1，m)，B(1，m)，C( 2，m+1)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是( ).

一般解法：因为A(-1，m)，B( 1，m)两点关于y轴对称，由右侧的B(1，m)，C(2，m+1)两点可知，y随x的增大而增大，所以只能选C .

特殊解法：取m=1,画出A、B、C三点，对比选项中的图象，发现最接近C.

结论4对于含参数的图象判断(定性)问题，可通过对参数取特殊值，找到对应函数模型.

例5(2018年福建10)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( ).

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

一般解法：根据方程有两个相等的实数根可得出Δ=0,进而得出b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b= -(a+1)时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-(a+1)，可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选D．

特殊解法：通过观察，联想到常见方程x2+2x+1=0(或x2-2x+1=0),均满足Δ=0.由此可知，对于方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0，当a=0，b=1(或-1)时，均符合题意.此时，方程x2+bx+a=0可化为x2+x=0(或x2-x=0)，其一根为0，另一根为1(或-1)，选项A、B、C错，选D.

结论5对于一元二次方程的根的情况，在求出Δ，得出参数满足的条件后，通过观察，发现题设成立的特定条件(a=0，b=1或-1)，分别代入选项求解即可.

三、“任意点”问题作特殊化处理

结论6对于特定曲线上的动点有关的面积问题，可根据其限制条件，进行赋值.

结论7求双曲线与特殊直线(斜率固定)的交点与平行于坐标轴的直线围成的直角三角形面积最值时，可结合中心对称、面积公式、勾股定理，转化为交点弦长问题，通过观察图形，利用直线通过特殊点时的特殊方程进行求解.

教学启示：由上述例子，我们可以看到，数学思想是处理数学客观题的指导思想，而“特殊与一般思想”是帮助我们从多角度思考问题，灵活、快速、准确解答数学客观题的关键.我们教师在日常教学尤其是试卷评讲时，应该关注思想的渗透 ，避免就题论题，应该注重方法、题型的归纳，达到“举一反三、熟练应用、提升素养”的目的，确实提高初三复习效率，提升教学成绩.