由一道相似形的例题教学谈变式教学的作用

刘成功

(安徽省定远县第二初级中学 233200)

教师是课堂教学的主导，学生是课堂教学的主体，课堂上要充分处理好教师与学生的关系.“教师讲授给学生自主以启发、动力、灵感、方向，学生自主给教师讲授以反馈、分享、调控、反思.”课堂教学中，除了要让学生了解和掌握基本的数学知识，习得基本的数学技能外，教师还要努力搭建桥梁，引导学生主动思考、积极探索，让学生通过解题过程，感悟蕴藏其中的数学思想，习得解题方法，并从中学会与人沟通，增强学生合作意识.笔者一直探索如何提高课堂教学实效，尤其是教师主导性与学生自主性如何有机的统一方面经过多方尝试觉得结合数学课本开展学生讲题活动更有利于帮助学生理解问题，掌握知识，拓展思路，增强学习兴趣，提高学习效率.要学好用好课本，特别是要用好课本中的例题，因为这些例题大多是通过精心筛选并科学整理而成的，往往具有很强的代表性，教师要充分利用好这些例题，让学生不仅仅会做例题，还要把握其中的精髓，并且能够迁移运用，实现触类旁通，从而增强学生学习的效果.在学生讲题活动中教师可以结合学习目标和教学内容，有针对性地进行调整，特别是对课本中的例题进行巧妙的多样式变换，鼓励学生积极尝试，不仅能够帮助学生更加熟练地掌握所学知识，也能很好地拓展学生解题的思路，发散学生的思维，提升学生学习数学知识的兴趣，达到事半功倍的效果.

一、经典例题

如图1中，一块铁皮呈锐角三角形ABC，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把铁皮加工成矩形的零件，使矩形两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长是多少.

这一例题十分具有代表性，它是相似三角形性质的第二节课的例题，是相似形性质运用的代表性例题.书中的解题思路如下：相似三角形对应高的比等于相似比，即PQ∶BC=AE∶AD，由PQ=2ED进而得到2ED∶80=(60-ED)∶60，从而解决问题.

教学时安排学生讲题，并要求各小组学生自行准备并查找资料或创造性的对这道题目作变式拓展.下面对学生讲题时同学们对此题的变式拓展的收集及自身教学理解体会加以整理，来说明变式教学的作用.

二、变式教学有什么作用

1.变式练习能够进一步夯实基础内容

(1)同一道题不同的解题方式能够促进基础知识的巩固

变式1你能用其它的方法求出矩形的边长吗？

学生小组合作，进行探究性学习.在学生深入思考、交流后，由其中的1名学生提出，并巧妙地通过平行线把线段按照比例进行划分，介绍两种方式：即PQ∶BC=AQ∶AC，AE∶AD=AQ∶AC得出PQ∶BC=AE∶AD，再求解；也可以AQ∶AC=PQ∶BC，QC∶AC=DE∶AD，由AQ∶AC+QC∶AC=1得出PQ∶BC+DE∶AD=1，再求解等.

虽然解题方法不一样，求解的路径不一样，但得出的结论一致，这样不仅能增强学生探索的兴趣，还能巩固学生所学知识，发展学生多角度思考问题的能力.

(2)以同一种方法来解决多种图形

当前，在数学课本中，只要我们细心观察就不难发现，很多种形状的几何图形都有一些相同的特征，在教学过程中，教师要引导学生掌握解析这类题型的方法和技巧，实现举一反三.

变式2如在例题中，将条件“矩形PQRS,两边长比为2∶1”改为“矩形PQRS，且PQ∶PS=3∶2”，在其余条件都不变的情况下.算一算矩形PQRS的边长.

变式3假如我们改变△ABC的形状，但始终保持着边BC与高AD的长不变，矩形PQRS的边RS在直线BC上，顶点P、Q分别在边AB、AC上，矩形PQRS的边长会发生变化吗？为什么？(参见图3、图4)

变式4在上题中，若BC长为l，AD长为h，PQ长为a，DE长为b.请你写出l、h、a、b之间的等量关系式.

同学在查找资料时收集的三个问题.即使图形发生了较大的变化，但是关系式依然成立，没有发生变化.通过这种方式，就能帮助学生进一步理解这类基本图形里一直存在着的比例关系，即：a∶l=(h-b)∶h.这是数学的化归思想，更直接帮助学生发现“变”中的“不变”，体会数学问题的本质.在教学时第三组的杨博闻展示了三个图形，介绍了比例关系a∶l=(h-b)∶h后，我还借助多媒体进行演示，帮助学生进一步感受到变化的本质.

2.能够巧妙地渗透数学思想

数学课本不仅仅包含着重要的数学知识，还蕴藏着无数的数学思想.作为教师，要跳出课本的藩篱与束缚，整合教学资源，进一步深挖课本，在引导学生学习数学变式时注重数学思想的渗透.学生讲题时的变式是无目的的，有的甚至是错误的，教师有目的收集整理.帮助学生不断积累数学知识，发展数学思维，逐步学会用数学思想来思考问题、解决问题.

(1)分类思想的渗透

变式5在锐角△ABC中，若BC=12，高AD=8，四边形PQRS是△ABC的内接矩形，其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.如果矩形一边长为3，求另一边长.

学生2给出小组交流的结果，并细致地讲解，尤其对PQ=3或者PS=3两种情况作了分析:当PQ=3时，可得到3∶12=(8-DE)∶8；当PS=3时，可得到PQ∶12=(8-3)∶8，从而得出矩形另一边长有两种情况，体现数学分类的思想方法.

(2)渗透函数与方程的思想方法

变式6如图5，在上题中，去掉“矩形一边长为3”的条件，如果设PS=x，矩形PQRS的面积为S，求S关于x的函数解析式及定义域.

本题涉及方程与函数的思想，由前面可得“PQ∶12=(8-x)∶8，可推导PQ=-1.5x-12，S矩形PQRS=(-1.5x-12)x=-1.5x2-12x，定义域为0

(3)数形结合思想方法的渗透

数形结合是一种重要的数学思维，是一种重要的数学研究方法，往往通过数与形之间的关系来解决数学中的问题.下面变式7由学生3提出，他们组员做了深入的交流，都有深刻的认识.

变式7锐角△ABC中，BC=12，高AH=8，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.求矩形的最大面积及此时矩形的长和宽.

(4)化归思想方法的渗透

化归思想不仅仅是一种十分重要的解题思路，也是一种较为常用的思维方式，通常将复杂的问题进行转化归类，使之变得简单易记，便于解决问题.

变式8如图6中，在锐角△ABC中，BC=12，高AD=8，△PQR是△ABC的内接等边三角形，且PQ∥BC，求等边三角形边长.

此题解决就可以用上化归的思想，即使给出的图形与前面的不一样，但是学生4组同学还是通过小组合作，认真探索后发现，只要添加辅助线就可以把问题转化为与原题相同的基本图形(如图7)，这样问题就可以得到轻易地解决.

3.通过变式练习增强学习兴趣，培养探究精神，养成合作、分享成功的习惯

(1)创生问题，增强学生学习兴趣

变式9△ABC是一块锐角三角形材料，如果边BC长60厘米，高AH为40厘米，要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.请问，这个正方形零件的边长是多少？

变式10假如有一块直角三角形纸板，斜边长为5厘米，其中一条直角边长为3厘米，你如何将它加工成面积最大的正方形纸板？

(2)拓展延伸，培养学生探究意识

变式11已知锐角△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a

(3)变式练习使学生养成合作、分享成功的习惯

变式11的解答就是由两个不同的学习小组合作完成，大家分享了交流成果.并且对内容进行了适度拓展，根据不同学生的接受能力，巧妙搭建了相关桥梁，让每个学生在问题解决中都能有所收获，获得相应的提升.

综上所述，巧妙运用变式练习，不仅能够帮助学生熟练掌握基础知识，也能进一步引导学生从多角度、多维度、多层级思考问题，促进学生思维方式的发展和培育，增强学生的数学思想和思维方式，促进学生数学核心素养能力的形成，让教学活动变得更加高效.