变式训练突破中考压轴题

广东省恩平市年乐夫人学校

1 原题呈现

题目如图,抛物线y=ax2+bx+x与x轴的交点为A(-6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G(-2,3).

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P是线段OA上一动点,过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设ΔCPQ的面积为S,求S的最大值;

图1

(3)若点B是抛物线与x轴的另一交点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分线,求点M的坐标.

2 题目分析

本题考查的知识主要有,待定系数法求函数解析式、二次函数的基本性质和综合应用,三角形中位线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质等知识点.在(2)中设出P点坐标,用代数式表示出PQ的长,然后引导学生求ΔCPQ的面积,实际上就是求S梯形QP OC与SΔP OC的差.同时注意函数性质的应用.在(3)中推算出DM=DN=12BC是解题的突破口.

3 题目解答

(1)把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式,可得

点评本题考查知识点较多,综合性质很强.在解题时,先利用待定系数法,把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式.

(2)因为C(0,3),所以,可设直线AC解析式为y=kx+3.把A点坐标代入,可得0=-6k+3,解得所以直线AC解析式为

点评在(2)中设出P点坐标,用代数式表示出PQ的长,然后引导学生求ΔCPQ的面积,实际上就是求S梯形QP OC 与SΔPOC的差.再结合二次函数的性质可求得S的最大值.

点评第(3)问由条件可求得可求得点D为AB的中点及坐标有∠DCB = ∠CDB和CD是MN的垂直平分线,可证明DN//BC 得出DN为ΔABC的中位线,所以从而得点M的坐标.

4 变式训练

变式训练1在(2)的条件下,延长直线PQ 交抛物线于点M,线段MQ 会不会存在最大值,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.

解析设出P点坐标,表示出MQ的长.yMQ=根据二次函数的性质,得出线段MQ的最大值45.

变式训练2若点A,C的坐标改为A(-3,0),与y轴的交点为在(2)的条件下,当ΔCPQ为等腰三角形时,求点P的坐标.

解析因为所 以∠ACO = 60°,因为PQ 平行于y轴,所以∠CQP = 120°.若ΔCPQ为等腰三角形,则PQ = CO,因为∠QPC = ∠QCP,∠QPC = ∠PCO,所以∠QCP = ∠PCO = 30°,所以PO =1,所以点P的坐标就求出来了.

变式训练3在线段OA 上是否存在点P,使∠PCB为直角? 若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解若∠PCB为直角,则∠PCO = ∠CBO.因为∠AOC = ∠COB = 90°,所以ΔPOC ∽= ΔCOB,所以所以所以

5 教学反思

变式训练指在数学教学过程中,对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同情形、不同背景做出有效变化,使其条件或结论的形式发生变化而本质特征却不变,从而达到举一反三、融会贯通的目的.教师要注重引导学生通过一题多解、一题多变、多题归一等变式训练,巩固和深化学生对所学知识的理解,增强学生思维的灵活性、变通性、选择性和独创性,帮助学生从题海中跳出来,切实提高课堂教学效果.

总之,在数学教学中,基础知识和基本技能是“经”,策略是建立在良好双基之上的“纬”.在数学教学中,注意典型问题的变式训练,把学生的思维逐步引向深入,然后注重数学思想方法的渗透和解题策略的指导,才能切实提高中考复习效率.