基于变量代换的“凑微法”不定积分教学策略

刘丹 李泽华 方明亮

【摘要】一元函数的不定积分是高等数学积分理论中的重要基础，其中第一类换元积分法常常因为其灵活性、复杂性成为教学的难点.本文提出在第一类换元积分法——“凑微法”的教学过程中使用变量代换的技巧开展教学，可以帮助学生更好地理解“凑微”的实质.同时，变量代换也是一种简洁、有效的积分方法.

【关键词】不定积分;第一类换元积分法

【基金项目】2017年广东省高等教育教学改革项目“高水平大学建设目标下本科专业人才培养质量标准研究”（粤高教函[2018]1号），华南农业大学教改项目（JG17018）.

在高等数学课程中，一元函数的不定积分是积分学理论的一个重要组成部分.它是学生进一步学习一元函数的定积分、多元函数的重积分和线（面）积分乃至微分方程理论的重要基础，对培养学生思维的灵活性、提高计算能力有着重要的作用.不定积分知识理论比较简单：一元函数的不定积分是一元函数微分的逆运算，本质上求得一个可导函数，使其导数等于被积函数.因而，可以利用基本求導公式，推导出基本积分公式表.当然，仅有基本积分公式表是难以计算出大部分不定积分的.虽然求积运算是求导运算的逆运算，但是求积是远远难于求导的，甚至存在不可积的函数.这就需要辅助计算的技巧、方法，即不定积分的计算方法.总体而言，不定积分的计算方法总体上可以分为两大类：换元积分法和分部积分法.其中，分部积分法主要用来处理两种不同类型函数乘积的不定积分，方法简单，而且目前已经总结出一套较适用的分部积分的“口诀”（反对幂三指），学生容易理解且掌握程度较好.相比较而言，换元积分法，主要用来处理复合函数的不定积分，其灵活性高，而且计算难度比较大，是学生理解和掌握的难点.换元积分法中的第一类换元积分法，又称为“凑微法”，由于没有固定的“凑微”模式，学生在学习和实际操作过程中往往需要耐心观察和多次尝试才能成功“凑微”，因此，成为学生在学习不定积分时最难以掌握的积分方法.本文对第一类换元积分法的教学方法进行了研究，提出了由“变量代换”过渡到“凑微”的教学策略.

我们首先以同济大学《高等数学》中的例题为例，来看看传统的教学方法：

例1 求∫13+2xdx.

分析 被积函数13+2x=1u，u=3+2x.这里缺少dudx=2这样一个因子，但由于dudx是个常数，故可改变系数凑出这个因子：

13+2x=12·13+2x·2=12·13+2x（3+2x）′，

从而令u=3+2x，便有

du=d（3+2x）=2dx，于是

∫13+2xdx=∫12·13+2x·（3+2x）′dx=12∫1udu=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

这种教学方法不仅对“换元”的过程解释得烦琐、复杂，往往让学生摸不着“头脑”，因而，在开始学习阶段，许多学生并不能很好地掌握这种方法.

通过多年的教学实践，我们认为完全可以在开始实施教学的阶段，直接教授学生使用变量代换的方法来积分;而在学生掌握“变量代换”的方法之后，可以采用“凑微”与变量代换相结合的教学方法，帮助学生实现到“完全凑微法”的过渡;在学生完全熟练掌握之后，可以省略变量代换的过程，直接“凑微”.

我们仍以上述例1来说明.

事实上，在给出例1的正确解答前，我们可以让学生先看下面的错解：

∫13+2xdx=ln|3+2x|+C.

上述解法显然是错误的，因为积出来的函数的导数并不等于被积函数.产生这种错误的原因在于：被积函数13+2x是一个复合函数，外层函数为1u，内层函数为u=3+2x，而积分变量为x，这与基本积分公式∫1udu=ln|u|+C中要求积分变量和被积函数的变量保持一致的积分规则不符.如何解决上述复合函数内部整体变量和积分变量不一致的问题呢？可以采取整体变量代换的技巧：

解 令u=3+2x，对等式u=3+2x两边同时求微分，得到du=2dx，因而，dx=12du，此时

∫13+2xdx=∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

注意，关于变量u积出原函数之后，还需要将变量u用3+2x换回，以确保原函数是关于变量x的函数.

我们再用变量代换的方法来看下面例题的解答.

例2 求∫2xex2dx.

分析 注意到被积函数中有复合函数ex2，其内层函数是x2，因而，可以尝试设u=x2，因而，du=2xdx，或者dx=12xdu，此时原被积表达式可化为∫eudu，这是一个基本积分公式，求出原函数之后，再将u用x2代换即可求出该不定积分.

解 令u=x2，则du=2xdx，

所以∫2xex2dx=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例3 求∫cosxxdx.

解 令u=x，则du=12xdx，故

∫cosxxdx=2∫cosudu=2sinu+C=2sinx+C.

通过对上述三个例题的分析及解答过程，我们可以发现，相对于传统教材的分析和教学方法，直接使用变量代换的教学方法更加简洁、明了，也能让学生更容易理解和掌握.

在学生完全领会和掌握使用变量代换的技巧求不定积分之后，我们可以考虑将“凑微”的思想融入其中，我们以例1和例2为例来说明这个过程.

例4 求∫13+2xdx.

分析 注意到被积表达式13+2x是一个复合函数，其内层函数是3+2x，因而，考虑将积分变量从x变为3+2x，由于d（3+2x）=2dx，故dx=12d（3+2x），即∫13+2xdx=∫13+2x·12d（3+2x）.再设u=3+2x，可以更清楚地看到，原不定积分可化为∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

例5 求∫2xex2dx.

分析 因为被积函数中含有复合函数ex2，其内层函数为x2，且dx2=2xdx，于是∫2xex2dx=∫ex2dx2，令u=x2，则原式=∫eudu=eu+C=ex2+C.

上面两个例题的分析与解答过程可以总结为：首先找出被积函数中的复合函数，再凑出被积函数的内层函数的微分，然后做变量代换，化为基本初等积分公式，从而求出不定积分.因而，第一类换元积分法的本质就是在微分上“凑出”复合函数的内层函数，并最终转化为已知积分公式的函数（尤其是基本初等函数）的不定积分.

在学生比较熟练地掌握了“凑微”的技巧，特别是能记住一些常见的“凑微”公式之后，我们可以省略上述变量代换的步骤，直接“凑微”，直接求外层函数的不定积分即可.

最后，要强调的是，要想熟练掌握和运用该技巧，需要学生首先牢固记住常见的“凑微”公式.其次，我们认为在引导学生“凑微”时，先观察、寻找被积函数g（x）中的复合函数f（φ（x）），然后利用其他部分函数和dx凑出微分d（φ（x）），再根据前后恒等的关系，乘微分可能产生的系数的倒数.在教学过程中，利用动画或者板书的形式来展现这一过程，均能取得比较好的教学效果.

事实上，变量代换的技巧，不仅仅是帮助学生理解“凑微法”的桥梁，也是一种较为方便的积分方法.对层数较多的复合函数，如果直接使用“凑微”法，往往需要逐层“凑微”，过程复杂，计算难度大.但若直接采用变量代换的方法，却能起到“直达”目的的效果.

當被积函数是由两层以上的函数复合而成时，如果采用凑微法，往往需要多次连续凑微，对大部分学生来说具有相当大的难度.然而，采用变量代换法，直接将内层函数（不管有几层）设为变量u，往往能直达目的，直接将形式烦琐的被积表达式简化为基本积分公式.

但是，我们也应该明确，变量代换法只是求不定积分的众多方法中的一种，并不能用来解决所有的不定积分.如∫x31+x2dx，这个题目就不能直接用变量代换的方法求解，而是需要先对被积函数进行一定的变形，再“凑微”或者变量代换.总之，不定积分的计算方法灵活、技巧性高，在引导学生掌握了基本的方法和技巧后，要想达到熟练的程度，还需要一定量的课后练习.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]范云晔.一元函数不定积分凑微分法求解技巧的几点思考[J].数学学习与研究，2016（17）：114，116.

[4]熊欧.不定积分凑微分法的教学新探[J].数学学习与研究，2018（21）：12，14.

[5]李小斌，朱佑彬.不定积分的一个注记[J].高等数学研究，2018（6）：15-17.