概率乘法公式教学研究与实践

【摘要】乘法公式是概率论与数理统计系列公式之一，应用广泛，对此知识点进行教学研究有重要意义.本文首先就乘法公式的化繁为简思想、一一对应与条件事件逐项增多特点、优先发生原则等四方面展开论述，再进行教学设计，此教学设计在多年的课堂实践中得到较高评价.

【关键词】概率论与数理统计;乘法公式;教学设计;条件概率

【基金项目】广西重点培育学科（应用数学）2016年研究子课题（Sxkczy02）;2015年度广西民族师范学院教学改革研究课题立项项目（JGYB201537）.

“概率论与数理统计”课程是大学理工类、经济管理类等专业的一门必修课程，应用广泛，学好这门课程对学生后续课程的学习有重要意义.这门课程中概率计算的公式很多，如加法公式、减法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式与贝叶斯公式等，由于公式多，学生在使用时容易出现问题.例如，记不住公式，分不清哪个事件应为A、哪个事件应为B，或者用错了公式等.因此，对这些公式的教学，需要教师理解透公式的内涵实质，教学时突出各公式的特点和适用条件，总结归纳解题的思路、步骤及注意事项等.本文将以乘法公式为例，首先分析公式的四方面特点及教学重难点，再给出教学过程设计方案，期望能为“概率论与数理统计”的授课教师提供参考，也期望学习者对乘法公式有更深的认识与理解，能用乘法公式解决相关问题.

一、教学内容分析

所谓乘法公式，指的是两个及两个以上事件乘积的概率计算公式，它的一般形式为[1]：

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

从公式中可以看出以下特点：

一是体现分步讨论、化繁为简的思想[2].所求事件相对复杂，不能直接由古典方法求出，并且可以表示成一些事件的乘积形式，则由乘法公式，利用等式右边分步求解，而等式右边的每一项可根据题意得到.

二是具有一一对应特点.公式左边有n个事件A1，A2，…，An相乘，则公式右边有n项概率相乘，并且分别对应于A1，A2，…，An的概率，除其中一项外，其他项都是条件概率，并且条件不一样，这n项分别为P（A1），P（A2|A1），P（A3|A1A2），…，P（An|A1…An-1）.

三是条件事件逐项增多.从公式可以看出，第一项P（A1）没有条件，第二项P（A2|A1）以A1作为条件，而第三项P（A3|A1A2）以A1A2作为条件，以此类推，作为条件的事件逐项增多.

四是优先发生原则[3].我们看到公式中是多个事件乘积，从公式的推导过程中可以知道这n个事件地位是平等的，可以互换位置，但在实际应用中，如果事件发生有先后顺序，应以优先发生为原则，因为我们容易得到前面事件已发生的条件下后面事件发生的概率，比如，从装有4只红球5只白球的袋中依次抽取球两次，做不放回抽样，求第一次取到红球第二次取到白球的概率.因为第一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率容易知道，而第二次取到白球的条件下第一次取到红球的概率很难求出，因此，应该记A1为第1次取到红球，A2为第2次取到白球，那么所要求的事件为A1A2;如果事件发生没有先后顺序，那么就要根据题意考查哪个事件作为条件更容易计算.

这个知识点的教学重点是乘法公式的推导与应用，从条件概率的定义导出两个事件乘积AB的概率计算公式，扩展到三个事件乘积ABC的概率计算公式，进一步推广到多个事件乘积A1，A2，…，An的概率计算公式，在这个过程中要注意强调公式的一一对应与条件事件逐项增多两个特点，便于学生牢记公式，然后再通过例题和课堂练习展现乘法公式的广泛应用，在这个过程中要充分体现出公式的实质是分步讨论、化繁为简;教学难点是应用，在运用公式的过程中容易出错，有时分不清题意是要求条件概率还是乘积概率，或哪个事件应该作为条件，在教学过程中注意分析题意和根据优先发生原则来确定事件的顺序.

二、教学过程设计

总的设计思路为：“创设问题情境—确定问题（任务）—制订解决方案—尝试解决问题—发现新问题—改进解决方案—解决问题—拓展问题”，通过创设情境及确定问题、新知传授、实战演练、精讲多练、归纳总结、课后作业等6个环节，对教学过程进行精心设计，突破重难点，使其兼具典型性、实用性、趣味性，同时将各种问题贯穿在教学过程中，引导学生积极主动学习、自主协作、学会创造、探索创新，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（一）创设问题情境

创设如下抽签情境：精彩足球赛的入场券只有1张，但有5个人都想要，采用抽签的方法来决定，于是有人争着先抽签，认为“先抽的人要比后抽的人抽到的机会大”，而组织抽签者则说“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，大家抽到‘入场券的机会都一样大”，引出问题：抽中与抽签顺序有无关系呢？换用概率的语言就是：假设Ai为第i个人抽中，那A1，A2，…，Ai的概率是否相等？

这个环节以生活中常碰到的抽签问题引入，更能引起学生的关注，吸引学生注意力，激发学生学习的积极性与主动性.

（二）新知传授

为解决抽签问题，引出新知：概率乘法公式.

首先由條件概率推出两个事件的乘法公式.

当P（A）>0时，由P（B|A）=P（AB）P（A）得到

P（AB）=P（A）P（B|A），（1）

或者当P（B）>0时，由P（A|B）=P（AB）P（B）得到

P（AB）=P（B）P（A|B）.（2）

以上两式即为两个事件的乘法公式，在实际应用过程中使用公式（1）或者公式（2），可根据特点四：优先发生原则来确定.

然后由两个事件的乘法公式推导出三个事件的乘法公式

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）.

进一步推广到n个事件的乘法公式

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

在这两个环节中注意强调公式的一一对应特点与条件事件逐项增多趋势，方便学生理解与记忆.

（三）实战演练

用乘法公式解决抽签问题，首先设Ai为第i个人抽中，计算P（Ai），i=1，…，5.显然P（A1）=15，但其他的结果并不明显，如计算P（A3），需要考虑前面两人抽签的结果，此过程比较复杂，所以要分步把复杂问题简化，因为第三个人抽中意味着前面两人都没有抽中，所以有P（A3）=P（A1 A2A3），再运用乘法公式

P（A3）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1 A2）=45×34×13=15，可知第3个人抽中的概率也是15，按这个方法计算，得到每一个抽中的概率均为15，所以抽签抽中的概率与先后顺序无关.在这个环节中要充分强调分步讨论与化繁为简的思想.

（四）精讲多练

此环节设计一道例题和至少一道练习，通过例题使学生进一步理解乘法公式的特点及应用，通过练习学生容易把新知内化.

例1 第一、第二车间共同生产5 000个零件，其中1 500个是第一车间生产的.而在这1 500个零件中，有500个是标准件，现从这5 000个零件中任取一个，问这个零件是第一车间生产的标准件的概率是多少？

分析 题目中涉及零件是第一或第二车间生产以及零件是标准件或不是标准件，因此，设A={零件是第一车间生产}，B={零件是标准件}，注意分析所求问题：零件是第一车间生产的标准件应该表示为AB，而不是（B|A），因为由题意知道P（B|A）=5001 500，所以利用乘法公式（1）P（AB）=P（A）P（B|A）=1 5005 000×5001 500=0.1即为所求.

练习1 波利亚罐子模型：罐中有b个白球和q个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个同色球与d个异色球.再进行第二次抽取，并反复地做下去，问题：依次取球四次，求前两次取到白球后两次取到红球的概率.

解 设Ai为第i（i=1，2，3，4）次取到白球，则所求事件可以表示为A1A2A3 A4，运用公式得

P（A1A2 A3 A4）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2 A3）

=bb+q×b+cb+q+c+d×q+2db+q+2c+2d×q+3db+q+3c+3d.

（五）归纳总结

此环节以学生为主，引导学生归纳总结，重点突出公式的四个特点及解题的步骤：根据题意用恰当字母表示事件—把所求事件表示成所假设事件的乘积—运用乘法公式求解.

（六）课后作业

可以根据学生的实际情况适当布置1～3道书面作业题，要求学生按解题步骤规范书写.

例如，① 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止.求取了n次都未取出黑球的概率.

② 一批零件共有100個，其中有10个不合格品.从中一个一个地取出，求第三次才取得不合格品的概率是多少.

三、结束语

目前高校课程改革的一个特点是减少课内授课课时，增加第二课堂的课时，在这样的环境下想要取得好的教学效果，需要教师对教学内容展开研究，精心设计每一节课，并且最好能以微课形式记录[4]下来.针对乘法公式这个知识点，笔者以本文的教学设计为框架，录制成微课参加2016年全国高校数学微课程教学设计竞赛，获得了华南赛区一等奖，平时的课堂实践中也按此教学设计开展教学，取得了较好的教学效果.

【参考文献】

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]李真.浅谈《概率论与数理统计》中乘法公式的教学体会[J].大众科技，2017（3）：82-84.

[3]郑长波.条件概率系列公式的学习技巧[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2006（4）：396-398.

[4]黄月兰.概率统计微课教学设计的研究与实践[J].数学学习与研究，2018（23）：14-15.