三元实二次型的分类

刘欢 魏姣

【摘要】三元实二次型的规范形是由二次型唯一确定的，根据规范形的类型对三元实二次型进行一个全面的分类.化二次型为规范形的方法有很多种，比如，非线性替换法、合同变换法.本文介绍一种特征值判别法，根据二次型矩阵的特征值的正负性确定其规范形.

【关键词】特征值;实二次型;规范形;分类;

【基金项目】国家自然科学基金（11801525）.

二次型f（X）=X′AX是线性代数中的重要内容，在研究二次型时，首先要研究其标准形和规范形.众所周知，化实二次型为规范形的方法有很多种，比如，非退化线性替换法、合同变换法、配方法[1，2]等等.由于三元实二次型在线性代数教材中出现的频率高，另外二次曲面与三元二次型联系紧密，因此，研究三元实二次型的分类显得尤为重要.本文利用特征值判别法研究三元实二次型的分类，即根据二次型矩阵的特征值的正负性确定其规范形.

定理1 任意一个实二次型f（X）=X′AX都可以经过某一个正交线性替换X=TY化为标准形f（X）=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，其中λ1，λ2，…，λn恰为A的n个实数特征值.

推论2 如果A的特征值中有p个为正，q个为负，那么实二次型f（X）=X′AX可以经过一个非退化线性替换化成规范形f（X）=z21+z22+…+z2p-z2p+1-z2p+2-…-z2p+q.

证明 不妨设A的特征值λ1，λ2，…，λp为正，λp+1，λp+2，…，λp+q为负.令

Y=diag1λ1，…，1λp，1-λp+1，…，1-λp+q，1，…，1ZT1Z，做非退化线性替换X=TT1Z，实二次型f（X）=X′AX化为规范形f（X）=z21+z22+…+z2p-z2p+1-z2p+2-…-z2p+q.

例1 利用特征值法求实二次型f（x1，x2，x3）=x21-4x1x2+4x1x3-2x22+8x2x3-2x23的规范形.

解 二次型f（x1，x2，x3）的矩阵为

A=1-22-2-2424-2，其特征多项式为

|λE-A|=λ-12-22λ+2-4-2-4λ+2=（λ-2）2（λ+7），

则A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-3，进而可知二次型f（x1，x2，x3）在某一非退化线性替换X=TY下化为规范形为f=y21+y22-y23.

实对称矩阵的特征值肯定是存在的，而且几何重数等于代数重数，但是对某些实对称矩阵来说，其特征值求解是非常困难的，比如，下面的问题.

例2 求实二次型f（x1，x2，x3）=3x21+x22+5x23+4x1x2-8x1x3-4x2x3的规范形.

分析 二次型的矩阵A=32-421-2-4-25，其特征多项式为|λE-A|=λ3-9λ2-λ+1.该三次多项式在实数域分解因式是非常困难的，从而无法给出特征值的精确值.所幸的是，确定规范形只需要特征值的正负个数，不必求精确值.

解 假设实对称矩阵A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，则

λ1λ2λ3=-1， λ1+λ2+λ3=9.

由λ1λ2λ3=-1可知三个特征值必为两正一负，否则三个都为负，这与λ1+λ2+λ3=9矛盾.从而可知该二次型在经过某一个非退化的线性替换X=TY化为规范形f=y21+y22-y23.

根据上述问题，将其结论推广，从而得到下面关于三元实二次型分类的一个定理.

定理3 任意一个三元实二次型f（X）=X′AX，其中X=（x1，x2，x3）′，A為二次型的矩阵，其特征多项式为|λE-A|=λ3-tr（A）λ2+ξ（A）λ-|A|，其中tr（A）为A的迹，ξ（A）为A的所有二阶主子式之和.

（a）如果|A|>0，tr（A）<0，则规范形为f=y21-y22-y23;

（b）如果|A|<0，tr（A）>0，则规范形为f=y21+y22-y23;

（c）如果|A|>0，tr（A）>0，且

（1）ξ（A）>0，则规范形为f=y21+y22+y23;

（2）ξ（A）<0，则规范形为f=y21-y22-y23;

（d）如果|A|<0，tr（A）<0，且

（1）ξ（A）>0，则规范形为f=-y21-y22-y23;

（2）ξ（A）<0，则规范形为f=y21+y22-y23;

（e）如果|A|=0，

|λE-A|=λλ-tr（A）+tr2（A）-4ξ（A）2·λ-tr（A）-tr2（A）-4ξ（A）2，

可以算出特征值的精确值，从而得到其规范形.

证明 情形（a）和（b）的证明思路和例2类似，情形（e）根据一元二次方程求根公式即证.由于情形（c）和（d）类似，下面只需证明情形（c）.

假设A的特征值为λ1，λ2，λ3，由于|A|>0，则λ1，λ2，λ3三个为正或者两负一正.事实上，tr（A）=λ1+λ2+λ3，ξ（A）=λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3.

（1）如果ξ（A）<0，则λ1，λ2，λ3必是一正两负，否则λ1，λ2，λ3三个为正，与ξ（A）<0矛盾，即证.

（2）如果tr（A）>0，ξ（A）>0，则λ1，λ2，λ3三个为正，否则λ1，λ2，λ3一正两负.不妨设λ1>0，λ2<0，λ3<0，由于λ1+λ2+λ3>0可知λ1>-λ2-λ3>-λ2，进而可知λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3<-λ2（λ2+λ3）+λ2λ3<-λ22<0，与ξ（A）>0矛盾，即证.

【参考文献】

[1]王长群，李梦如.线性代数：第二版[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]北京大学数学系前代数小组.高等代数：第五版[M].北京：高等教育出版社，2019.