浅谈拉格朗日中值定理在证明等式中的应用

张煜银 田旭昌

【摘要】拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，建立起了函数值与导数之间的定量关系，成为我们讨论由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具.本文主要描述了拉格朗日中值定理的内容，同时结合实例对拉格朗日中值定理在证明等式中的应用进行探究.

【关键词】拉格朗日中值定理;证明等式;应用探究

在微积分中，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理一般都称为微分中值定理，这一组定理是微分学的理论基础，而拉格朗日中值定理更是微分中值定理的核心，具有承前启后的作用，是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，更是泰勒公式的弱形式（一阶展开式），它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.拉格朗日中值定理的应用十分广泛，比如，在求极限、证明等式、证明不等式、研究单调性、导数估值方面都具有重要的意义，通常能将问题化难为易，下面主要对拉格朗日中值定理的内容以及在等式的证明方面进行详细的阐述.

一、拉格朗日中值定理的内容

定理 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ξ∈（a，b），使得：f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，其结论称为拉格朗日公式，还有以下几种等价形式：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），a<ξb都成立，而ξ是介于a与b之间的某一定数.

二、运用拉格朗日中值定理证明等式

（一）证明恒等式

众所周知，如果函数f（x）在某个区间I内是一个常数，那么f（x）在此区间内的导数就恒为零.事实上，它的逆命题也成立，即：如果f（x）在某个区间I内的导数恒为零，那么f（x）在I内是一个常数.这个结论称为拉格朗日中值定理的推论.

例1 证明当x≥1时，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

证明 当x=1时，等式显然成立，当x>1时，令 f（x）=arctanx-12arccos2x1+x2，

f′（x）=11+x2-12·-11-（2x1+x2）2·2（1+x2）-4x2（1+x2）2

=11+x2+1+x2x2-1·1-x2（1+x2）2=0.

由拉格朗日中值定理的推论可知，f（x）≡C（C为常数）.

令x=3，代入上式可求得C=π4.

综上所述，当x≥1时，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

（二）证明含单中值的等式

在一些证明题中有时会出现这样的情形：“如果抽象函数f（x）满足一系列条件，需要证明至少存在一点ξ∈（a，b），使得含有f′（ξ）或者f″（ξ）的表达式等于0”.解决这类题型，关键在于构造合适的辅助函数，常用的方法是从结论入手，推测出辅助函数F（x）的形式.其步骤主要有三步：① 将结论中的ξ改为x，得到一个关于x的新方程G（x）=0;② 通过对方程G（x）=0进行变形、求不定积分等构造出辅助函数F（x），这一步主要是将f（x）的导数进行降阶，使方程的最高阶数降低一阶，需要注意的是，通常对方程 G（x）=0两边求不定积分后出现的任意常数C需要省略;③ 验证构造的辅助函数F（x）满足拉格朗日中值定理的条件，然后证明相应的结论.

例2 设f（x）在[0，a]上连续，在（0，a）上可导，且f（a）=0，证明：存在一点ξ∈（0，a），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0.

分析 将结论中的ξ换成x，等式变成f（x）+xf′（x）=0，对等式两边同时求不定积分可得xf（x）=C，从而可构造辅助函数F（x）=xf（x）进行证明.

证明 设F（x）=xf（x），则F（x）在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点ξ∈（0，a），使得F（a）-F（0）=F′（ξ）（a-0），由f（a）=0可知，F（a）=F（0）=0，则F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，故原结论得证.

（三）证明含双中值的等式

有时一些证明题中还会出现更复杂的情形：“如果抽象函数f（x）满足一系列条件，需要证明存在两点ξ，η∈（a，b），使得含有ξ，η的导数满足某个方程”.解决这类题型，需要两次运用拉格朗日中值定理，同时要设法在ξ与η之间建立一座“桥梁”，建立起ξ与η之间的某种关系.其方法步骤主要有三步：① 从结论中的等式出发，将分别含有ξ与η的表达式放到一起;② 分析式子的特征，通过求不定积分等构造出辅助函数F（x）;③ 对F（x）两次运用拉格朗日中值定理，分别得到关于ξ与η的两个表达式，然后整理可得相应的结论.

例3 设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=13，证明：存在ξ∈0，12，η∈12，1，使得f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2.

分析 首先将结论进行移项得（f′（ξ）-ξ2）+（f′（η）-η2）=0，再将ξ与η换成x后发现两部分具有相同的结构特点f′（x）-x2，积分求出辅助函数为F（x）=f（x）-13x3，然后在两个子区间分别运用拉格朗日中值定理，最后对两个等式进行整理即可證明.

证明 设F（x）=f（x）-13x3，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点ξ∈0，12，使得F12-F（0）=F′（ξ）12-0，

即2f12-112=f′（ξ）-ξ2，①

同理，至少存在一点η∈12，1，使得

F（1）-F12=F′（η）1-12，

即-2f12+112=f′（η）-η2.②

由①+②可得：f′（ξ）-ξ2+f′（η）-η2=0，

即f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2，故原结论得证.

三、结束语

在微积分中，拉格朗日中值定理是一个十分重要的知识点，涉及的领域十分丰富广泛.本文主要探究了拉格朗日中值定理在证明等式方面的应用，此外还可以研究函数的一些其他性质，这些都需要我们从更多的角度去观察、审视，真正体会到拉格朗日中值定理的重要价值.同时，通过探究，有助于开阔我们的数学视野，发展我们的数学思维能力，对拉格朗日中值定理也会有更加深入的认识.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.微积分（第三版）：上册[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李延波，刁爽.拉格朗日中值定理的应用[J].广西师范学院学报（自然科学版），2017（2）：133-136.