高考数学创新型试题的命制策略

纪定春 周思波 蒋红珠

摘要：培养学生的数学创新能力是数学教学的重要使命和基本任务，高考数学创新型试题的命制是考查学生创新潜力和创新意识的重要方式，本文从高等数学初等化、竞赛数学试题改编、“即时定义”、挖掘数学文化、情境跨学科、逻辑趣味化、深挖教材素材等方面，对高考数学创新试题的命制策略进行了分析与点评，

关键词：高考数学;创新试题;命制策略

1创新型试题命制的教育价值

创新是一个国家和民族持续发展的推进器，培养学生的数学创新能力是数学教学的重要使命和基本任务，高考数学创新试题是指根据数学课程标准的理念和要求，依托一定数学命题原理和技术，旨在培养、诊断、测评学生的创新意识与创新能力的数学题，高考数学创新型试题的命制，是考量和测评考生创新潜力、培养学生创新意识的重要方式，因此，研究高考数学创新型试题的命制策略，对提高数学教师创新型试题的命题意识和培养学生数学创新能力是有益的，潘超研究了高考数学创新试题设计的“十化”策略，对探索高考数学创新试题的命题规律具有启发性和指导意义，新课程改革下的高考数学创新试题有了新的发展和变化，对高考数学创新型试题赋予了新的时代特色和内涵，本文将拟从高等数学初等化、竞赛数学试题改编、“即时定义”、挖掘数学文化、情境跨学科、逻辑趣味化、深挖教材素材等方面，对高考数学创新型试题的命制策略进行分析与点评。

2高考数学创新型试题的命制策略

2.1高等数学初等化策略

高等数学初等化策略，就是高考数学命题专家利用高等数学的基础知识点作为命题的依托来命制高考试题，可通过考生利用已有的初等数学知识基础和认知水平来解答高考数学试题的一种命题策咯“初等化”即命题者将高等数学的知识经过精心打磨、设计和包装，让试题以初等数学的形式与面貌、初等数学的解决方法呈现在考生的面前，这种试题具有问题清晰、结构简洁、背景淡化等特征，给考生“眼前一亮”“耳目一新”的感觉，考生很难辨别其“真实”的高等数学身份（背景），因此，以高等数学初等化策略来命制高考数学试题，历来受到高考数学命题者的青睐，通过高等数学初等化策略命制的高考数学试题还具备考查考生进一步学习高等数学潜质的功能。

评注该试题具有高等数学的知识背景，是一道典型的以高等数学知识来命制的函数压轴题，试题蕴含了“洛必达法则”（中值定理的极限形式）、等价无穷小、麦克劳林展开式等高等数学的知识点，此题依然可以通过初等数学的方法进行解答，但解答过程相对繁琐，可见高考数学创新型试题常以高等数学初等化的策略来命制。

2.2竞赛数学试题改编策略

竞赛数学作为一种竞赛的形式存在，对选拔热爱数学学科和具备数学创新意识的考生具有重要的价值和意义，竞赛数学属于中等数学的内容，试题难度往往要比高考数学试题的难度高，高考数学试题命制者将竞赛数学试题通过“技术化”处理，降低试题原本难度作为高考数学试题使用，通过竞赛数学改编的试题通常出现在压轴题（压轴题分为：选择题、填空题和大题压轴题）中，通过这种方式命制的高考数学试题，具备一定的挑战性和综合性，能够有效地考查考生基础知识功底，以竞赛数学试题改编策略命制的高考数学试题，不仅形式新颖，而且还具备考查考生数学创新意识的功能和作用。

评注该试题是由竞赛试题改编而成，竞赛试题为：已知a，b为正实数，且b>a，试比较a^b与b^a的大小关系，此问题直接利用特殊值代人计算是比较繁琐的，且不容易判断，如何比较大小呢？可以先假设b^a>a^b，取对数可得alnb>blna，然后分情況进行讨论，经过改编后的竞赛数学试题难度有所降低，不存在分类讨论的情况，但是也有变难的情况，用该竞赛数学试题改编的高考数学试题还有2014年湖北理科卷第22题;又如2013年湖北理科卷第22题和2014年安徽理科卷第21题，是利用竞赛数学中伯努利不等式的知识背景进行改编的;2009年辽宁理科第12题，明显是由1998年希望杯全国数学邀请赛高二试题进行改编，以竞赛数学试题改编的试题还有很多，此处不再列举。

2.3“即时定义”策略

“即时定义”策略，就是高考数学命题者通过所考查的知识点来重新定义某种新概念、新规则、新运算、新性质等，然后依据提供的这些“新信息”命制高考数学试题的一种策咯这种试题具有呈现形式“超常规”、展现内容“超教材”、解答过程“超思维”等特点，需要考生解读所定义的新信息内涵，然后进行问题的解答，此类问题多以所学过的知识点为起点，又具有“不超”所学知识范围的特点，这种以“即时定义”策略命制的高考数学创新型试题，可以有效地考查和培养考生的学习迁移能力、知识迁移能力、综合应用能力及数学创新意识等。

评注该试题新定义“P（k）数列”，本质上是考查等差数列的性质，通过“即时定义”策略，使得试题以崭新的面貌呈现在考生的眼前，这种试题在平时的练习和考试中难以见到，教师在教学的过程中也很难有针对性地进行训练，因此，“即时定义”型试题能够有效地考查考生的知识迁移能力、阅读理解能力和数学综合素养，以“即时定义”策略命制的高考数学创新试题还有很多，如2016年上海理科卷第23题，新定义数列{an}的“P”性质;2017年山东理科卷第15题，新定义函数f（x）的“M”性质;2018年江苏卷第19题，新定义函数的“s”点等。

2.4挖掘数学文化策略

文化是物质财富和精神财富的总和，数学文化是数学自身所具备的特有的物质财富和精神财富的总和，数学文化作为数学中的文化“软实力”，是数学发展过程中的“根”和“魂”，具有重要的数学教育价值和数学文化育人价值，高考数学试题的命制强调“立德树人”，“立德”就是通过高考数学来培养考生的数学品格和数学素养，如欣赏数学美、具备数学理性精神、形成数学思想、拥有原创精神等;“树人”就是通过高考数学来培养考生会用数学的思维方式思考世界（问题），会用数学的眼光看世界，会用数学的语言表达（描述）世界，这些品质和精神蕴含在丰富的数学文化中，因此，数学文化试题具有“文化立德”和“文化树人”的双重育人功能，因此，以挖掘数学文化策略命制的高考数学试题，是近年高考数学创新型试题中靓丽的“风景”。

解析通过常识和审美的角度进行“猜测”，可直接排除选项c和D，这是因为古代人的身高普遍比现代人的身高略低，显然不符合当时的审美要求，对于选项A，维纳斯是欧洲人（希腊人），一般要比中国人高，也不符合当时的审美要求，选B。

评注“断臂维纳斯”作为古希腊时期数学文化的一个重要标志，集数学文化和数学美于一体，具有“文化育人”和“数学美育”的双重教育价值，引导数学教学要重视渗透数学文化和数学美学教育试题设计蕴含丰富的内涵，一是让考生认识数学文化中蕴含“数学美”，数学与美相关联，数学中美的实质便是黄金分割，黄金分割广泛存在于现实世界中，如斐波拉契数列、优选法等;二是引导考生用“数学的眼光”欣赏数学和生活中的“美”，培养学生用“数学美”的眼光去看世界、思考世界和表达世界;三是让考生知道数学（黄金分割）是用来判断数学美的一种标准，以深度挖掘数学文化策略命制的高考数学创新型试题很多，例如2019年浙江卷第4题，以祖暅“幂势既同，则积不容异”的祖咂原理为依托，结合高中数学三视图来考查考生的学习迁移能力和空间想象能力等。

2.5情境跨学科策略

合适的问题情境是考查数学核心素养的重要载体，合适的问题情境可以赋予枯燥的数学知识以鲜活的生命力，情境跨学科化策略，是指高考数学命题专家借助其它学科（非数学）的背景和知识来命制高考数学试题，以达到数学试题情境创新的一种策咯常见的跨学科情境，如物理情境、生物情境、化学情境、工程情境等，以跨学科情境命制的高考数学试题，能够有效地考查考生运用数学的知识、数学的方法、数学的思想来解决现实问题的综合能力素养，近年，跨学科情境的试题情境多来源于社会焦点和热点，这样设计出来的高考数学试题，具有新颖性、时效性、独创性和导向性，同时意在引导教师和学生不仅要关注眼前的高考，而且还要关注社会的热点和国家发展的动向，含有爱国主义教育的深刻寓意。

评注本试题具有明显的“物理学的味道”，以“嫦娥四号探测器”首次月球背面软着陆为情境，有考生调侃做数学试卷做出了物理试卷的感觉，可见该试题具有很强烈的跨学科背景（物理学背景），试题以物理学的学科知识为背景，然后用数学的知识来解决问题，让考生认识到数学与物理之间存在密切联系，体现了数学是一门具有强大工具特性的学科，跨学科情境策略命制的高考创新試题较多，如2019全国I卷理科第2 1题，生物学情境与概率相结合等。

2.6逻辑趣味化策略

逻辑学是研究人思维形式和规律的一门科学，逻辑大致分为辩证逻辑和形式逻辑两大类，现代逻辑学是在句法和语义的基础上，利用定义、公理和推理规则，对现实中的对象进行抽象化和模型化，进而给出相关定理的证明，逻辑趣味化策略就是高考数学命题者利用形式逻辑的知识点，从某些定义、概念、公理和推理规则等出发，结合风趣、幽默的故事（事件）或对话形式来命制高考数学试题的一种策咯逻辑趣味化试题，突出数学的逻辑性、严谨性、趣味性等特点，逻辑趣味化数学试题主要用于考查考生的逻辑推理能力，该类型的数学试题有助于激发学生对数学的学习兴趣。

例6（2019年全国Ⅱ卷文科第5题）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测，甲：我的成绩比乙高，乙：丙的成绩比我和甲的都高，丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）。

A，甲、乙、丙 B，乙、甲、丙

C，丙、乙、甲 D，甲、丙、乙

解析已知“三人成绩互不相同且只有一个人预测正确”，可以假设其中某人成绩预测是准确的，用反证法进行证明，假设如下：

情况1.假设甲的预测是正确的，则甲的成绩高于乙，再由乙和丙的预测是错误的，推出乙的成绩高于丙的成绩，最后由于乙同学的预测为错误，可以得三名同学知识检测成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙，对情况2和情况3同理进行推理，可得情况2和情况3都与假设相矛盾，选A。

评注该试题背景新颖，以“一带一路”为背景，将逻辑推理与“一带一路”知识测评成绩巧妙结合，通过“对话”和“猜测”的趣味形式给出推理信息，令考生眼前一亮，以“一带一路”为知识背景，可以引导考生关注社会发展和国家战略方针，具有爱国主义教育的深刻寓意，以逻辑趣味化策略命制的高考数学创新型试题还有很多，例如2017全国理科Ⅱ卷第7题，猜测成绩;2014年新课标理科I卷第14题，猜测去过的城市等。

2.7深挖教材素材策略

数学教材（教科书）作为数学教学的范本，具有规范性、普适性、基础性和层次性等特点，高考数学试题的命制具有“万变不离其宗”的规律和特点，“宗”，即本质、宗旨，首先，高考数学试题的命制要触及核心知识点的本质;其次，高考数学试题的命制要以高中数学教材为出发点和落脚点，深挖教材素材策略，就是高考数学命题者以高中数学教材的内容为素材和依托来命制高考数学创新型试题的一种策略，该种类型的试题具有教材内容淡化、试题难度提高、综合性增强等特点，

例7（2015年浙江理科卷第6题）设A，B是有限集，定义d（A，B）=card（AUB）-card（AAB），其中card（A）表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>O”的充分必要条件;命题②：对任意有限集A，B，c，d（A，c）≤d（A，B）+d（B，c），下列判断正确的是（ ）。

A，命题①和命题②都成立

B，命题①和命题②都不成立

c，命题①成立，命题②不成立

D，命题①不成立，命题②成立

解析试题中新定义的符号d（A，B），本质上表示的是只在集合A中或只在集合B中的元素个数，对于命题①，当A≠B时，说明集合A和集合B不可能同时为空集，则至少同时有1个元素只在集合A中或只在集合B中，所以有d（A，B）>0.命题①成立;对于命题②，作图很容易验证不等式关系成立，此处不再进行解答，综上，选A。

评注该试题是以人教A版必修1的集合阅读材料为“宗”进行“新定义”和改编而成的，经过改编后的试题，不仅具有新颖的呈现形式和独特的表述方式，同时意在综合考查考生对集合的元素、性质、运算的理解和掌握情况，以人教A版必修1集合章节阅读材料内容命题的，还有2019年全国理科Ⅲ卷第3题，该试题以四大名著阅读情况为背景，实则考查集合元素个数计算问题，因此，高考数学备考还是要回归教材，回归知识的“根”。

3创新试题命制策略对数学教学的启示

3.1高中数学教学的内容既要有针对性，还要有延展性

高中数学的学习，是对初中数学的进一步扩充、升华和细化，同时是进一步学习高等数学的基础，因此，针对性就是对高中数学知识内容的学习要有深度，即知识掌握有深度、方法应用有广度、数学思想积淀有厚度;延展性就是对高中数学知识的学习要具有延续性和持久性，要与高等数学的知识、方法和思想接轨，而不是高考考什么就只教什么，需要适度额外的补充讲解、渗透学生能够“延展”的知识、方法和思想，这样才能更好地培养学生的数学思维和数学学习的潜力。

3.2注重创新型试题的命制与练习

创新试题的命制与训练，不仅仅是为了高考的需要，而是为了学生的终身发展的需要，要真正做到以创新试题孕育创新意识，以创新试题培养创新能力，以创新试题锻造创新思维，以创新试题激发创造灵感，将创新试题的作用发挥到极致。

3.3重视教师创新意识和创新思维的提升

教师作为学生的教育者和引导者，具有导向性作用，要培育出具备创新意识和创造性思维素养的学生，首先需要教育者本身要具备良好教育素养：创新意识和创新思维素养，学生创新意识和创新思维的提升并非一朝一夕就能形成，需要教师在教学的过程中逐渐地引导学生进行思维的训练，逐步生成数学创新意识和创新思维;其次，关注学生的思维过程，引导学生积极地思考，现在大部分学校普遍实行“知识讲解+解题训练”的教学模式，这种教学方式固然会增強学生数学解题能力，但这也是在“遏制”学生的数学创新思维的生成，让学生变成只会做题的“机器”，扼杀学生的灵气和创造力，数学教学的过程中，应该是数学思维的教学，应该是学生思维生成的过程，让学生的思维在问题解决的过程中自然的“流淌”出来，在体验解题的乐趣、品味解题的过程、反思解题的策略、感悟解题的思想过程中，逐步形成独特的数学思想和数学创新意识。