例析2019年北京高考数学试题的几个亮点及启示

2020-02-21 09:30尹嵘
理科考试研究·高中 2020年1期
关键词:数学应用过程性评价开放性

尹嵘

摘要:2019年北京高考数学试题突出了对概念本源的考查、对过程性学习的评价、对开放性试题的设计探索,始终坚持“数学知识在生活中的应用”的“国民数学素养”的考查,本文例析上述的几个亮点,并提出思考和建议,

关键词:概念本源;过程性评价;开放性;数学应用

2019年的高考已经落下帷幕,但对于高考试题的研究却如火如荼,作为在高考命题中独树一帜的北京卷,在此次试题的命制中,不少方面都体现了新课程改革深入进行的探索,体现了数学教育在立德树人方面的考查,命题进一步加强了对数学学科核心素养的考查,体现了以能力立意、创新导航的数学高考新形态,作为长期在高三一线的数学教师,笔者对试题进行了研究,摘选了2019年北京卷所呈现的几个亮点进行了评析,供同行商榷。

1突出了对概念的本质和多元表征的考查

《2019年北京卷考试说明》明确指出:“数学学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法,”试题考查了学生对基本概念的本源的理解,及对概念进行多元表征的能力,使学生真正掌握概念,夯实基础,学生对基础知识的理解,基本能力的发展,基本态度和价值观的养成,共同构成了学生终身发展的基础。

例1(2019年北京卷文科第6题)设函数f(x)=COSx+bsinx(b为常数),则“b=o”是“f(x)为偶函数”的( )。

A,充分而不必要条件

B,必要而不充分条件

c,充分必要条件

D,既不充分也不必要条件

评析函数的奇偶性是函数的基本性质,是完整理解函数概念的必备条件,对于考生来说,对于函数的研究,应该具备对同一概念的多元表征能力,而此题,学生可以从以下几个方面来解决:

(3)从图象入手,偶函数的图象关于y轴对称,可以通过),=COSX,y=bsinx的图象的叠加来分析,

此题满足了不同程度的考生对函数的奇偶性概念的理解的考查,而一题多解则可以加深对概念本源的理解,

例2(2019年北京卷文科第17题)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变,近年来,移动支付已成为主要支付方式之一,为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化,现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元,结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由。

评析一直以来,概率与统计承担着对数据分析核心素养的考查功能,2013年起,北京卷的概率与统计的第(3)问,比较注重对一些概念本源的考查,这是一个特别好的考查点,如:对平均数和方差的概念本源的考查,深受师生欢迎,而本题第(3)问是对随机事件概率的概念的考查,考查考生对概念的理解是否到位。

(1)“概率”的大小,是“可能性”的大小,作为随机事件的概率,我们一般把发生概率小于5%的事件,称为“小概率事件”,而通常认为在一次试验中,小概率事件是不应该发生的,所以如果从这个角度人手,则由题意,我们认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化;但是,从另一个角度来看,可能性小的事件,不代表一定不发生,也有可能发生,这也是概率的意义,所以回答没有变化也是可以的,这关系到从概念本质和统计意义的不同角度来分析,学生关键在于深刻理解了随机性的本质,理解了概率的概念,就可以从容地回答好这道题;

(2)概率统计贴近生活实际,学生真正理解了概率中的相关概念,才能对生活中的随机现象,做出合理的科学的解释,比如:“降水概率”“抽奖获奖的概率”等问题的解释,这有利于“学以致用”,有利于弘扬正能量和社会主义核心价值观。

2注重过程学习。重视过程评价

《普通高中数学课程标准》(2017版)明确指出:数学教育教学要“重视过程评价,聚焦素养,提高质量”,在北京卷的命题中,不少试题“不仅注重结果,更注重过程,注重考生在数学学习过程中,相关的学科核心素养的形成过程的考查,以能力立意,注重学生的终身发展,既要掌握“鱼”,更要掌握“渔”。

例3(2019年北京卷理科第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线c:x2+y2=1+xy就是其中之一(如图1),给出下列三个结论:

①曲線c恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

②曲线c上任意一点到原点的距离都不超过2;

③曲线c所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中,所有正确结论的序号是( )。

A,① B,② C,①② D,①②③

评析我们在教学中,常常说:要注重过程性学习,但是,怎样在高考中体现过程学习的考查呢?应该说,这道题是一道很好地体现了过程性学习能力考查的试题,题目是考查学生对一个未知曲线(多数学生可能听说过心形曲线,但并不熟悉)的性质的研究。

学生在高中学习过曲线与方程,对于用坐标法研究曲线的性质并不陌生,并且初步掌握了研究的一股方法与步骤,并在此基础上进一步研究了圆、椭圆、双曲线和抛物线等常见的圆锥曲线的方程、图象和性质,那么,有了这些实践的经验,考生是否能真正掌握一般的方法,去独立研究(探索)一个新的曲线的图象和性质呢?这就考查了学生是否真的掌握了研究的过程与方法。

在解题过程中,学生还可以利用图形的对称性(从曲线方程可以得知)来简化研究:只需研究y轴右方即可,另外,此题展示出的优美的心形曲线,蕴含了数学史和数学美(包括笛卡尔的爱情故事)的渗透,这也是数学的文化价值和美育价值的体现。

3小中见大的开放性试题

2017年的北京高考试题,首次出现了开放性试题,虽然仅仅是一道难度适中的填空题,却给了我们一种新的感受,也成为了北京卷的一个亮点,在2018年、2019年的高考试题中,北京卷延续了这种出题的风格,如:2018年理科卷的13题,文科卷的11题,再次呈现了开放性试题,在教育考试院的评价中,明确指出:“2018年试题强调开放性和创新性,选择非常规的情境和思维深刻的问题,让学生综合地运用所学的知识,多角度、多层次地思考问题,”作为开放性试题,符合新课改“促进学生全面而有个性的发展”的教育理念,承载了考查学生对基本概念的深刻理解,考查学生数学思维的深刻性和创新性等多种功能,那么,2019年的开放性试题是怎样呈现的呢?

例4(2019年北京卷文科第13题,理科第12题)已知l,m是平面a外的两条不同直线,给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥a;③zj_出以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__。

评析2017年、2018年的开放性试题,属于结论开放性和条件开放性,均为举例证伪的模式,因此大家容易形成一个固定的思维模式,不利于思维的广阔性的培养,这道题改变了这两年的开放型试题的考查模式,类型上属于综合开放型,此题的呈现方式在1999年的高考试题中呈现过,此题考查考生对线面位置关系的判定和性质的深刻理解,需要考生自己选择或构造一定的条件,并得出另一个明确的结论,答案的不唯一性,也兼顾了不同程度的考生的理解水平和动手能力,考查了考生的创新意识。

4从“关注一隅”到“览其全貌”

每当一个新的知识引入到高中数学学习时,我们的关注点更多的在于这个新的知识点本身,我们关心老师和学生是否都能够真正理解这个知识,并初步运用这个知识来解决问题,阶梯式拾级而上,在经过一段时间的教学实践,我们对知识的理解达到了一定的成熟度后,才能进一步关注应用,其中,“导数”章节知识的学习和考查,正是经历了这个过程,进入高考考查之初,“函数与导数”主要考查对导数本身的理解,如:求切线方程、讨论函数单调性等等,然后发展到利用导数工具来研究函数性质(其中还包括对研究的函数进行选择和构造的问题),但基本上一旦函数选定,导数能够贯穿始终,这些考查方式,符合知识的认知过程,也有利于导数工具的熟练掌握,但过度强化了单一的导数工具的作用,弱化了其他工具在函数性质研究中的作用,在2019年的高考中,“函数与导数”试题的命制,出现了可喜的变化,体现了对多种研究函数方法的考查,而不再是“一个导数,包打天下”,在函数的研究中,有利于全面掌握方法,构建知识网络,提升综合能力。

评析这道题的第(1)(2)问比较直白,一般的学生都能够上手,考查了导数的基本概念和基本方法;亮点在第(3)问,一是考查了学生的观察能力,注意第(3)问与第(2)问的联系来辅助解题,在处理绝对值时,可以通过以下几个角度人手:

(1)绝对值的定义(代数意义),对两个端点值的大小进行分类讨论;

(2)绝对值的几何意义,从图象翻折变换的角度进行处理。

如果考生能够把图象的翻折情况想清楚,那么处理起来也比较得心应手。

函数试题的重心归根结底是对函数性质的研究,包括:三要素、图象、相关的性质等等,此题的好处在于让考生意识到,导数并不是贯穿始终的唯一的工具,在需要导数的时候,我们用它;在需要用到别的工具的时候,我们用别的工具,而所有的工具,都是在为我们研究这个函数的相关性质来服务的,这就回到了导数学习的根本目的,利用导数工具来辅助研究函数性质,这也给我们发出了一个信息:即让考生和教师跳出较为狭隘的唯导数观点,回到较为全面的看待和研究函数的方法上来。

5“数学之眼看世界”,贴近生活实际

让学生学“有用”的数学,让他们感受到数学来源于生活和生产实际,也服务于生活与生产,服务于科学、社会、工程技术等诸多领域,正如数学核心素养中,对“数学建模”素养的培养:让考生学会对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,用数学模型解决问题。

例6(2019年北京卷理科第14题,文科第14题)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%,

(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付——元;

(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为—一

评析这道数学应用题有几个优点:

(1)突出了对数学核心素养的考查,尤其是数学建模和逻辑推理的考查;

(2)突出了对考生的阅读理解能力的考查,文字通俗易懂,并不生涩,学生通过认真阅读,能够理解题意,不会产生对应用题阅读的先行恐惧感和厌倦感,所以此题虽然有一定的阅读量,但并没有在阅读难度上设坎,此处的度把握得很好;

(3)突出了对考生数学应用意识的考查,是“学以致用”的良好导向:问题贴近生活实际,考生基本上具备相关的生活经验,特别是第(1)问,只要理解了就能上手,属于基本的数学素养;第(2)问在数学建模上,有较高的思维价值,但只要抓住最低保障就能解决此题,所以突出了学以致用能力的考查,也引导学生注意观察生活,培养学以致用的“数学之眼看世界”的国民数学素养!

6结束语

总之,我们从以上几个亮点的分析,可以看到:2019年的北京高考试题,突出了能力立意,突出了对数学核心素养的考查,是一份大气的试卷,这份试卷所传递的新课改的信息,给我们的日常教学和高考复习以良好的导向作用,给我们以下的一些启发和思考,值得我们去认真研究和体会:

(1)对基本概念本源的考查,加强了在日常教学中对基本概念教学的重视度,增加了对于概念的引入方式、概念的形成过程和对概念的辨析、对于概念的多元表征的教学的研究;

(2)对于过程性教学,更注重学生的探究和体验,更重视对于方法的梳理和总结必须改变只重结果,不重过程的“掐头去尾烧中段”的教学模式,变死学为活学;

(3)开放性试题影响着学生的思维方式,对“一题多解,一题多变”有较好的促进作用,也促进了对一些概念、定理和方法的条件和结论的充要性的研究,促进了思维的严谨性和广阔性的培养;

(4)“考试贴近教学,数学贴近生活”,促进了对数学应用——数学建模的核心素养的培养,数学知识的生活体验不仅仅呈现在新概念的引入处,数学知识在生活中的应用还将拓展到更大的领域,在日常教学中,老师们应通过课堂教学、试题编制、相关讲座、兴趣小组、课题调研等多种方式,促进学生“学以致用”的思想的渗透和培养。

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