核心素养理念下的概念教学*——以“任意角的三角函数(第一课时)”同课异构为例

刘宏英

(广东省惠州市第一中学，516001

近期，笔者观摩了一次市级同课异构活动,课题是“任意角的三角函数(第一课时)”,这是一节典型的概念教学课,两位老师以《普通高中数学课程标准(2017年版)》为指导,在数学核心素养视角下对概念教学进行了十分有益的探索,对正确认识和开展概念教学有非常好的借鉴价值．

一、教师A的教学设计

1.概念引入

师:我们已经学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,请同学们回忆:在初中是怎么定义锐角三角函数的?

2.概念形成

探究1如图(图略),现在把锐角α放在直角坐标系中,在α的终边上取一点P(x,y),你能用点P的坐标表示出sinα,cosα,tanα吗?

问题1当点P在α的终边上移动时,sinα,cosα,tanα值是否会变化?

问题2角α的三角函数值不会随点P在α终边上的位置改变而改变,那么点P取什么位置,即|OP|等于多少时,sinα,cosα,tanα的表达式更简单?

探究2你会选哪一个方法来定义任意角的三角函数呢?

3.概念应用

例2已知角α终边经过点P(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值．

探究3根据任意角三角函数的定义,你能写出三角函数的定义域和三角函数在各象限的符号吗?

例3若sinθ<0且tanθ>0,则θ为第几象限角?

4.小结作业

引导学生总结本节课的学习内容,用框图(图略)呈现本节课知识之间的联系,将课本习题分成基础题、能力题两个层次布置给学生,其中基础题必做,能力题如果有困难可以不做．

二、教师B的教学设计

1.概念引入

提出问题:

(1)初中，我们学习过锐角的三角函数，你是否还记得下列角的三角函数值?

角α30°45°60°sin αcos αtan α

(2)初中的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的？你能说出它们的自变量是什么?又以什么为函数值？自变量的范围是什么?

(4)随着角的概念推广和弧度制的引入，一般借助什么工具来研究角呢?

(5)先研究哪种角呢?是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢?

2.概念形成

探究1在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究?在锐角α的终边上任取一点P(a,b)，你能用点P的坐标来表示锐角α的三角函数吗?

探究2当锐角α确定，如果改变α的终边上的点P位置，角α的三角函数值会发生改变吗？为什么？

探究3数学追求”简洁美”，既然这三个比值与角α终边上的点P的位置无关，那么当点P选在何处时，sinα和cosα的形式最简单？

讨论1当锐角α发生变化时，点P的坐标会发生相应的改变吗?当锐角α确定了，点P的坐标是否唯一确定?

思考上述问题用函数观点如何来描述?

讨论2现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别?

思考由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗?

3.概念应用

试一试:独立完成下表

α(角度)0°90°180°270°360°α(弧度)sin αcos αtan α

例2已知角α的终边经过点P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值.若P0(-3a,-4a)(a≠0)，情况又如何?

例3确定下列三角函数的符号.

(3)tan(-672°)； (4)tan 3π.

4.小结作业(略)

三、教学评析

1.从教材处理看,注重核心素养培养的阶段性和连续性

相比而言,教师B的设计更精细,在引入概念环节设计了5个问题帮助复习旧知，制造认知冲突，衔接新旧知识和方法;在形成概念环节设计了两个思考;在应用概念环节,解答例1前设计了练习,解答后设计了方法总结,将定义中蕴含的推理过程程序化．这些对教材处理的细化措施,以学生各个核心素养的原有水平为起点,以学生能够达到的素养水平为目标,难度适中，衔接自然,有效地引导学生逐步获得基础知识，形成基本技能，积累基本活动经验，领悟基本思想方法,在发现和提出问题、分析和解决问题的过程中逐步提高数学抽象、逻辑推理等素养水平．略有不足的是问题稍显冗长,精炼一下更好．

2.从教学过程看,注重各个核心素养的独立性与整体性

概念教学的关键是让学生参与从典型实例概括概念本质特征的活动[1],培养数学抽象素养并逐渐提高其层次性，是概念教学的重要任务,两个设计都以培养数学抽象素养为抓手,协同其他核心素养的培养．从高一学生的认知水平出发,引导学生运用归纳、类比、演绎三种常用的逻辑推理方法,实现对任意角三角函数概念的抽象，层层递进， 落实数学抽象核心素养的培养．

3.从教学方法看,注重素养培养渠道的多样性

两个设计都充分贯彻了“以学为主”的新课标理念,通过教师引导示范、学生自主探究、小组合作的方式完成概念的建构和应用．教师A运用信息技术发展数学抽象、直观想象的设计更好.例如，运用几何画板演示将锐角三角形放入坐标系的动态过程;显示角终边上的点P运动时,坐标变化但三角函数值不变的特性．这些运用都有利于学生化抽象为形象，把握数学本质，克服思维障碍．

总体来看,两节课学生知识和技能的掌握程度、各个核心素养的达成情况较好．整个教学过程师生互动、生生互动充分有效,概念生成自然，运用自如,学习节奏紧凑愉悦,学生参与学习的积极性高,享受了发现的乐趣,尝到了成功的喜悦．特别是教师A能敏锐把握学生的思维障碍和闪光点，及时纠正和升华,是两节非常成功的示范课,受到了专家和观摩教师的一致好评．

四、教学反思

1.概念教学的情境设计简洁明了

这两节课引入概念的情境都来源于数学内部,简洁明了,突出问题导向,衔接初中三角函数和前一节“任意角和弧度制”所学的知识和方法．从课堂效果来看,这样的设计科学合理,适合学生的已有知识水平和学习经验,学生能顺利地领会学习主题,进入概念形成环节,符合“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养”[2]的教学要求．

2.概念教学的过程渗透学法指导

方法和途径的领悟不是一蹴而就的,是一个积沙成塔的过程．新课标提出，“既要重视教,更要重视学,促进学生学会学习”[3]，两个设计都很好地落实了这一点．例如教学流程遵循从特殊入手探索一般规律的科学研究的常用方法．教师A除了自己示范还请学生操作软件,让学生树立在信息化智能化背景下运用技术辅助学习的意识．教师B通过两个思考,帮助学生养成将新知纳入原有知识体系、反思数学思想方法的习惯．

3.概念教学的设计体现整体意识

新课标建议教师从知识、思想方法、素养的角度整体把握课程内容,从关注一节课、一节课的教学到更大范围(如一个单元、一章、一个主题)的教学,促进学生数学学科核心素养连续性和阶段性发展[4].就本节课而言,函数是上位概念,任意角的三角函数是下位概念,因此教学设计上应该将其纳入函数的定义体系,用研究一般函数的方法研究任意角的三角函数,体现知识、方法和素养的整体性与连贯性．

4.概念教学的背景融入数学文化

数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动[5].将数学文化融入概念教学,有利于学生了解数学的发展,认识数学在科学技术、社会发展中的作用,体会数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值,提升学生精神层面的数学核心素养．但是概念教学的背景如何融入数学文化?如何把握内容、形式?如何做到既有数学文化又突出数学本质?老师们仍然十分困惑,这两节课就是这种现状的真实呈现．教师A没有介绍概念的数学文化背景,教师B仅仅作了形式化的要求,这方面还需要进一步实践和探索．