HPM视野下的高中数学课堂*——以“数列的概念与简单表示法”的教学为例

成宏伟

(江苏省无锡市第六高级中学，214023)

HPM是History and Pedagogy of Mathematics(数学史与数学教育)的简称,HPM教学方式就是利用数学史来促进数学教育的教学方式.HPM视角下数学教学的基本方法就是重构历史，追求自然的发生教学法,即以学生的认知起点出发,凸显所学知识的必要性,呈现知识的自然发生过程,激发学生的学习动机[1].

本文以苏教版《数学》必修5第2章第1小节“数列的概念与简单表示法”中数列概念引入的教学设计为例,通过同课异构,对两种不同的教学片段进行比较,对HPM视野下高中数学数列起始课教学进行思考.

一、教材分析

数列的起始课人教版教材称为“数列的概念与简单表示法”,而苏教版教材则称“数列”,一般安排在高二上学期学习.本节课的重点是理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型,探索并掌握数列的几种简单表示法(通项公式、列表法、图象法).教学难点包括:认识数列是一种特殊的函数;发现数列的规律,找出数列可能的通项公式.本节课是后续学习两类特殊数列——等差数列、等比数列的前提和基础.

从重点内容来看,在运用数学史理解数列概念和认识数列是反映自然规律的基本数学模型这两个方面有独特的优势.

二、教学片段

1.片段1

情境1北宋哲学家邵雍的诗《山村咏怀》：“一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.”诗中涉及的数字依次为______.

生:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

情境2传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年——约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数(如图1).

以上三角形点阵表示三角形数,它们表示的数字依次为______.

生:1,3,6,10.

情境3中国古代庄周所著《庄子·天下篇》写到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.即一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为______.

情境4将 π 的不足近似值按小数位数从少到多的次序排成一列数,依次是______.

生:3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.141 5, 3.1415 9…

师:这些数有什么共同的特点?

生:都是按照一定的顺序排成的一列数.

2.片段2

德国天文学家提丢斯通过观察:3,6,12,24,48,96,192…,对这组数据加以运算,也就是在数列前面加一个数字,然后每个数字都加上4后再除以10,得到了一列数字,结果发现了火星和木星之间有一个空格.提丢斯在当时就预料,在火星和木星之间距太阳2.8天文单位处应该有一个天体.

n03612244896192… 距离 行星类别水星金星地球火星?木星土星?…实际距离0.390.721.01.52?5.29.5?…计算距离a=n+4100.40.71.01.62.85.210.019.6…

同学们!如果你是天文学家,看到这张表格,你会有什么想法吗?大胆地猜想一下!

生:如果我是天文学家,我会考虑在火星和木星之间,以及土星后面可能有还未被发现的新行星.

师:请说说你的理由!

生:就是距离太阳2.8和19.6天文单位附近.

师:非常好!你已经具备了天文学家的潜质!历史上,过了若干年,天文学家无意间发现了天王星,天王星与太阳的平均距离是19.2天文单位,与定则中的19.6非常吻合．再后来，天文学家又在距太阳2.77天文单位，发现了谷神星及小行星带,从而验证了提丢斯-波得定则.同学们试想一下,如果提丢斯当时舍去一个数,比如12,或者给的另外一组数据3,6,9,12,还能发现规律吗?

生:那肯定不能.

师:如果改变一下数字顺序,比如将3和12交换一下,还能启发出灵感吗?

生:还是不能.

师:这里面的数字不能随便交换,说明计算距离和n的什么有关?

生:与n的顺序有关.

师:对,是和排列的顺序有关?在数学史上,还有很多和数字排列有关的问题,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙滩上一起研究数学问题……

3. 方案比较

片断1是传统的数学史引入案例,先通过北宋哲学家邵雍的诗《山村咏怀》,给人一股浓浓的文学气息,使得数学课也有了人文色彩.接下来的三个情境,毕达哥拉斯学派的例子来源于人教版教材,庄周的例子来源于苏教版,这两个例子一个是发生在国外古希腊,另一个是在中国古代的战国时期,意在告诉学生数列问题不仅是一个历史悠久的问题,而且涉及的地域范围也非常广,同时研究的数列问题已经有了一定的思维高度.第四个关于π的例子选自同学们比较熟悉的例子,容易引起学生的共鸣,同时也给学生一种印象,数列不一定都是象前三个例子一样有明显的规律.

片断2引入比较新颖,先通过一个天文学的例子引入,而且这个天文学的例子对同学们来讲比较陌生,它的实际意义也就显得更强.首先,在课堂上,同学们有时对课本以外的知识更感兴趣，也就有利于调动课堂的学习氛围.其次,这个例子提醒我们，不是为了学习数列而学习数列,而是利用数列的规律性为人类服务.这个例子其实也是一个数学建模的典型案例,对学生今后数学建模思想的形成会起到不可忽视的作用.

三、教学感悟

汪晓勤教授总结出数学教学中运用数学史的方式有:附加式、复制式、顺应式和重构式[2].片断1中的例子可以归结为复制式或者顺应式,片断2关于提丢斯—波得的例子可以归结到重构式.

数学史融入数学课堂,应该遵循现行课程标准,不应以增加学生的学习负担为代价.在实际教学中,也有不少同行对数学史融入数学课堂持观望态度,他们的顾忌之一就是怕增加学生的学习负担,影响高考成绩.如果

在课堂教学中能将数学史和教学内容有机融合,相互促进和支撑,这样既普及了数学史知识,又提高了学生的数学学习能力,也就不必担心学生的考试成绩受到影响,可能反而会有所提升.

数学史融入数学课堂要因课制宜,因人而异.既不能为了将数学史融入课堂,而将与课程无关的数学史生搬硬套，也不能将不适合当前年龄段学生学习的内容强加进来，那样只会影响学生的学习积极性.数学史融入课堂,要善于借鉴和重构,而不是仅仅停留在讲述趣闻轶事、丰富课堂内容上.更要象片断2一样，从这段历史中领悟到数学的思想和方法,引导学生自主学习、合作交流,促使学生通过开展观察、猜想、验证、归纳、推理等数学活动,获得必要的数学知识,提升基本数学技能,培养学生勇于探究的精神,进而全面提升学生的数学核心素养.