基于学生认知基础的概念教学*——以“直线的倾斜角和斜率”一节的教学为例

樊玉敏

(江苏省南京市玄武中等专业学校，210042)

课堂教学强调“以学生为中心”．本文以“直线的倾斜角和斜率”概念教学为例,围绕教学目标,基于学生的认知基础，确定以学生为主体展开思维探究．

一、课前慎思

1.知识分析

本课基于学生已有的学习经验,围绕旧知“坡角、坡度”的概念展开探究,通过从“数与形”两个维度的比较,生成概念获得新知．

2.教学目标分析

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念；知道倾斜角的范围；掌握直线斜率的计算方法;明白斜率与倾斜角的关系.

(2)通过问题导向、类比归纳等数学方法的运用,探究概念生成的过程,建构知识体系,体会“数形结合”、“函数方程”、“转化化归”、“数学建模”等数学思想,领会解析几何的思想方法.

(3)通过引导学生了解解析几何的发展史以及中国古代数学家贡献的教学活动设计,让学生自主形成满满的民族自豪感,落实数学学科“立德树人”的课程任务.

3.教学策略分析

(1)采用探究学习的方式组织教学

通过层层递进的一系列问题来引发学生思考,形成概念,最终解决“如何刻画直线倾斜程度”这个问题;在解决已知两点坐标求斜率问题的过程中,发现“当直线上的两点发生变化时,改变的量是横坐标与纵坐标的差,不变的量是它们的比值”．

(2)基于已有知识基础和学习经验建构学习

通过比较新旧知识内容和学习方法等差异，助力对新概念的掌握．例如本课的学习基于学生已经掌握的两个基本知识经验:一是一次函数y=kx+b(k不为零)的图象是一条直线,它的倾斜程度与k有关系,k大于零往右斜,小于零往左斜．k的绝对值越大越陡．二是学生知道可以运用初中学过的坡角与坡度知识来判断山坡(楼梯)陡不陡的问题,知道二者之间的关联．

(3)基于信息技术提升兴趣的有效学习

一方面,教师利用网络教学平台开展教学活动．课前,教师通过学校网络教学平台发布预习任务,开展课前测试,了解学生的知识基础;课中,利用平台自带的“选人、抢答、讨论”等互动功能开展师生双边活动,平台记录了学生参与课堂活动的次数与正确度,教师及时给学生打分并记录于平台;课后,教师通过学习平台发布课后复习、拓展学习等资料,在及时了解到学生学习情况的同时，满足不同层次学生学习的需要;教学过程中,教师还可以通过在平台发布课堂检测题实现对学生的全员评价．另一方面,教师通过在教学中运用几何画板等软件演示来化解难点,如演示直线倾斜角的动态变化、两点坐标发生变化时纵坐标之差与横坐标之差的比值不变这一特征等等．

4. 顺应学生的认知基础确定教学思路

通过设计一个初始问题,让学生在解决这个问题的过程中,进行思考、创造,在得到描述直线的需求中引入“倾斜角”的概念,再从直线方程表达的需要引进“斜率”概念，从而再现知识产生的过程.这样的教学设计理念,不是把知识的结果直接交给学生,而是在揭示隐含在知识中的历史文化,使学生受到数学文化的熏陶.

二、教学过程

1.问题情境

请大家动动手,过点(3,0)作一条直线,回答下列问题:

问题1观察所作的过同一点的直线,想一想从“形”的角度看它们有什么不同?从直线的表达式角度看呢?

生1:从“形”的角度看,大家所作的直线倾斜的程度不一样,有的斜度大一点,有的小一点．

生2:我过点(3,0)作了一条平行于x轴的直线,我还作了一条平行于y轴的直线．

师:很好,大家从“形”上发现过同一点可以作无数条直线,它们的“斜度”不一样，每一条直线都有一个表达式,这个表达式是什么数学模型?

生3:直线是一次函数的图象,也就是直线的表达式．

师:很好,一次函数中的哪个量与“斜度”相关联呢?

生4:从“数”的角度对应到解析式表现为k，b的值不同．

设计意图让学生动手画图，感受“过一个定点可以作无数条直线”这个事实．通过比较让学生自主发现直线这个几何图形的性质与方程(解析式)中的“数k和b”是有关联的,k的值影响直线的倾斜程度，以此培养学生直观想象、数学抽象等素养．

问题2关于“倾斜程度”你有哪些学习、生活经验呢?

生5:我们经常经历“上坡、下坡”的过程,知道“坡”一般是斜的．

师:关于“坡”你知道哪些知识呢?与哪些知识相关联呢?

生6:在初中“锐角三角函数”部分学过坡角、坡度的概念．

师:坡角、坡度是怎样定义的?

生7:我记不准它的定义了,但是我知道坡度越大,坡角越大,坡越陡．

师:一起观看网络学习平台上老师发布的微课“坡度与坡角”．易知二者的数量关系是:坡度是坡角的正切值,因而可以借助坡度这个“数”来判断坡的斜度这个“形”,坡度越大,坡角越大,坡越陡．

设计意图从生活体验过渡到知识经验再到比较发现,学生自觉进入新旧知识结合点的比较环节,为引出概念作好铺垫．

2.概念引入

问题3怎样才能确定一条直线呢?

师:很好,还有别的方法吗?

生9:一个点,加一个“方向”,也就是“倾斜的程度”．

师:很好!

问题4怎样刻画一条直线的“方向”呢?

师:我们知道,直线本无方向．将直线放到平面直角坐标系内去研究,以坐标轴为参照,直线的位置从直观来看就有了“方向”,可以由“方向”加“一点”来确定一条直线．

设计意图比较“坡角”概念学习经验,发现需要通过一个角来刻画直线的“倾斜程度”．在x轴与直线相交的两组对顶角中,确定直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角为该直线的倾斜角．

3.概念生成

师:类比“坡度”的定义方法,给出直线“倾斜角”的定义,任一条直线都有唯一的倾斜角.并规定当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.请同学们观看几何画板的动态演示,进一步理解倾斜角的取值范围:0°≤α<180°,

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问题5怎样用代数的方法来表示直线的倾斜程度呢?

生10:应该与坡角、坡度的关系相类似.

师:把倾斜角α不是90°时的正切值叫做这条直线的斜率．即k=tanα(α≠90°),比较定义，不难发现不是所有的直线都有斜率，斜率解决了直线的“方向”问题．

设计意图比较研究“坡度”的方法,研究直线的斜率时可以视“倾斜角”为“坡角”,斜率就是“垂直增量”与“水平增量”的比值．

问题6问题3提到了“一点一方向”与“两点”均可确定一条直线,那么,已知直线上任意两点的坐标,怎样求该直线的斜率呢?

设计意图借助平面直角坐标系来研究问题是平面解析几何的重要方法．这里引导学生在课余时间了解一下笛卡尔的生平以及他为解析几何学所作的贡献．体现数学课堂既有数学文化的浸润,又呼应了“课程思政”的教学要求．

4.概念应用

由斜率的求法迁移到已知平面直角坐标系内两点的坐标求斜率,可以通过教师示范讲解和学生对应练习的环节来巩固．

设计意图引导学生学会从概念中找寻解决问题方法,以实际运用巩固加深对概念的理解，培养数学运算、数据分析等素养．

5.概念深化

问题7直线的倾斜角和斜率之间有什么关系?

由斜率的定义及求法可知倾斜角与斜率之间的数量关系：当斜率大于0时，斜率越大倾斜角越大；当斜率小于0时，斜率越大倾斜角越小；当斜率符号不相同时，负斜率对应的倾斜角比正斜率对应的倾斜角大．这个事实与初中一次函数解析式中k对直线倾斜程度的影响完全一致．

设计意图通过将坡度与坡角从数与形两个维度的比较得出倾斜角与斜率之间“数与形”两个维度关系;迁移到斜率的值与一次函数解析式中k的对应,再次体验“数形结合”思想,以形助数，以数释形．

6.小结归纳(略)

三、课后反思

(1)课堂教学过程中的学习评价主要是通过学校的网络教学平台发布的．课前课中的练习及检测环节设置的判断、选择题型答题结果平台能够当场评判,但对于学生上传的解答题,却因为时间不足而不能做到及时的全批全改,评判需要延后到课后才能完成．

(2)在教学设计中,教师关注数学思想、数学方法层面的着眼点较多,但客观上由于中职学生在数学学习方面的知识与能力基础欠缺,老师提出的思考问题有不少学生答不出或答不全,这让课堂讨论打了折扣,探究与比较学习的过程需要教师的引导．

(3)除了通过网络教学平台选学生回答外,学生抢答、举手回答总集中于三分之一平台学得比较好的学生,突出学习过程中学生的主体地位的设计环节还有待进一步关注．

(4)党的十九大报告明确提出“立德树人是根本任务”．本课“课程思政”点主要着眼于人文思考,将数学文化浸润体现于教学过程．实际上,为了更好地体现“全程育人、全方位育人”,还可以在课前或课后让学生以小组为单位收集一些素材并交流,在拓宽知识面的同时,更加深刻地去感受数学文化的魅力．