基于核心素养理念的教学设计——以“函数单调性”为例

李家鑫

(重庆市渝中区复旦中学，400010)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)提出，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学模型和工具,也可以把函数理解为实数集合之间的对应关系．本文以“函数单调性”一节的教学为例.从特殊函数入手,通过观察、归纳、概括，得出单调性的定义,再推广到一般函数,进而得出函数单调性的一般性定义．在探究过程中由形到数进行数学运算转换，从特殊到一般进行数学抽象概括,渗透数学思想方法，践行数学核心素养．

一、教材分析

函数是高中数学的主线,单调性则是函数的核心内容．在数学必修1中，一是承接函数的概念;二是启示研究函数性质的方法，同时也为后面利用导数研究单调性做好铺垫．

定义函数的单调性是本节课的重点和难点．进入高中后，由于知识本身发展的需要(比如函数学习中的推理和运算),就需用精确的语言来定义单调性,这时,引入数学符号非常有必要，将文字和图象语言转化成符号语言就成为本节课的难点．为突破难点,在教学设计时充分利用已有的认知结构,从特殊的一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2入手,分别从图象、列表、解析式三个角度来刻画单调函数的图象特征和数量关系,由浅入深,层层推进,最后归纳概括出单调性的定义．这一过程体现了数学抽象、数学运算以及数学推理等,自然而然地把数学核心素养融入课堂之中．

二、学情分析

初中时学习了一次函数和二次函数,并对其图象的增减性有了初步的认识,所以，在教学时把函数f(x)=x和f(x)=x2作为研究单调性的载体,是建立在学生已有的知识基础之上的,这符合学生的“最近发展区”．同时,前面已学习了函数的概念,本节课从函数的三要素来分析单调性的特征,是对函数概念因素的再次理解和巩固．然而,单调性的定义具有高度概括性和抽象性,学生在理解上肯定有一定的困难,比如为什么是“任取”,为什么“任取两个自变量就可以”等．因此让学生体会由无限到有限的思想成为关键．

三、教学目标

《课标》要求“通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性,并学会运用函数的图象理解和研究函数的性质．”所以具体教学目标如下:

(1)通过观察二次函数的图象,发现单调性“形”的特征和“数”的特征;

(2)概括出增函数的定义,类比概括减函数的定义;

(3)会利用单调性的定义证明简单函数的单调性;

(4)经历观察和发现单调性特征的过程,学会分析和表达函数单调性;

(5)体会由特殊到一般的思想和数形结合思想在学习数学中的作用;

四、教学重点、难点

本节课的教学重点为函数单调性的定义和证明简单函数的单调性；教学难点为由函数单调性的图象特征转化为符号表达．

五、教学过程

1. 发现共性,导出新课

观察图1(教材第27页中的图1.3—1)中的各个函数图象，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律?

设计意图让学生直观感受函数图象的变化规律和图象特征,猜想函数具有哪些规律;发现图象有升有降，有最高点和最低点，有关于y轴对称，有关于原点成中心对称．在众多的图象特征中感受它们共同的特征即有升降变化，然后从它们的共性入手研究,进而引出函数的单调性(增减性)．

2. 引导抽象,推进新课

观察:如图2，一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的单调性．

结果:(1)从左至右,f(x)=x的图象是“上升”的,f(x)=x2的图象先“下降”后“上升”;(2)同一个函数在定义域上有可能只具有一种单调,也有可能具有两种单调,即区间不同,所对应的单调性不同．

设计意图让学生从图象直观感受函数“增或减”的变化趋势,同时,体会单调性是函数的一个局部性质,在不同区间上,函数单调性不同．

预设可能大部分同学会猜想是增函数,也有可能少部分同学无法判断．

设计意图其一,让学生感受如果没有函数图象,函数的单调性又如何判断?说明仅从函数图象去判断单调变化是有局限的;其二,学生很有可能取值试探单调变化,进而猜想函数在定义域上单调递增,为用代数表达单调性埋下伏笔．

提问承接部分同学的取值试探方法进行探索．

设计意图还是以二次函数f(x)=x2为例,将图象“在(0,+∞)上升”和“在(-∞,0]上下降”进行代数表达．

请同学们根据x的取值求y值(见表格),观察x和y的变化规律．

x…-4-3-2-101234… f(x)=x2…16941014916…

从表格中的数据可以发现:在区间(0,+∞)上,随着x的增大,对应的f(x)也增大;在区间(-∞,0]上,随着x的增大,对应的f(x)反而减小．以区间(0,+∞)上的变化规律为例研究．于是得到:设0

进一步提问:在区间(0,+∞)内任意的两个自变量x1,x2,是否都有f(x1)

显然也是成立的．这是对f(x)=x2在区间(0,+∞)上随着x值的增大,对应的f(x)的值也增大的第二次抽象——无限到有限的表达．

例1判断下列说法是否正确,并说明理由.

(1)如果对x1,x2,x3∈(0,+∞),且x1

(2)对于区间(0,+∞)上有无穷个x的值x1,x2,x3,…xn,…,且x1

(3)如果对于区间(0,+∞)上的任意x有f(x)>f(0),则函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;

设计意图对概念进行反例辨析．取“有限”个和“无穷”个x的值都不行,或者“只任取一个x的值”也不行．

提问类比“增函数”的定义,请自主概括“减函数”的定义(第28页)．

设计意图让学生主动思考,举一反三,体会类比方法．如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有(严格)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间．

3. 深入分析，理解新知

例2图3是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.

解答略．

设计意图要求学生根据函数的图象写出函数的单调区间,让学生明白同一个函数在不同区间上,单调性有可能不同;单调区间的端点取与舍,不影响函数在此区间上的单调性;多个单调区间不能用“∪”联结(思考),可以用“,”隔开．

证明:任取x1,x2∈[1,+∞) 且x1

∵x1

∴f(x1)

设计意图给出证明简单函数单调性的方法和步骤:任取——作差——化简——定号——结论．同时也训练同学们的代数运算能力．

4. 教材练习,巩固新知

教材第32页:练习第3，4题．

5. 小结知识,构建新知

(1)函数单调性的定义:分别从函数图象、文字描述、数学符号语言来描述;

(2)函数的单调区间,函数的单调性是函数的局部性质;

(3)判断函数单调性的方法和步骤．

6. 布置作业,复习新知

习题1.3A组 第1,2题(必做);第3题(选做)．