再议加法交换律和结合律

刘裕良

[摘要]加法交换律和结合律是四则运算里的基础定律，为学生以后学习简算奠定了理论基础，但是，加法结合律与交换律之间却有着微妙的关系，要想彻底厘清两者，需要从定义开始追溯。

[关键词]加法;乘法;结合律;交换律;算序

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）32-0056-02

笔者阅读《中小学数学》2012年第7、8期刊登的崔海华老师的论文《厘清思考原点 关注运算顺序》（以下简称“崔文”）和2013年第12期杜钦坤老师的教研论文《惹祸的括号》（以下简称“杜文”）后，感慨良多。在经年累月的执教生涯中，上述崔老师和杜老师忧思的问题随处可见，同事也经常为此争得面红耳赤。下面笔者就谈谈个人浅见。

一、运算律引起的辩论

问题争论的焦点集中在三个题目上。

【例1】25+38+75=（25+75）+38，在这個简算变形中，运用了（ ）。

A.加法结合律

B.加法交换律

C.加法交换与结合律

崔老师和杜老师一致认为，这道简算题单一地运用了加法交换律，选项B是对的。而崔文中又补叙：“假若坚持认为使用的是加法结合律，简算过程的确改变了算序，即先求出第一个和第三个加数的和，再求出与第二个加数的和。然而，一、三两个加数结合起来相加的同时，势必调换了数序，客观上38与75调换了次序。从主次来分，两种运算律的运用，先用的是加法结合律，后用的是加法交换律，因此，若严格来讲，必须设计这样一个选项：加法结合律和加法交换律两相结合。这样看，选项C似乎有些勉强，因为词序颠倒。”作者的意思是，这个题目应该这样应答：加法结合律和加法交换律。认定B选项是没办法的办法，因为原题实在没有如愿提供“加法结合律和加法交换律”这个选项。

【例2】（1）125×7×8=（125×8）×7=1000×7=7000;（2）125×7×8=7×（125×8）=7×1000=7000。这道题中，针对后一种简算法，两位作者提出的观点与大多数教师的看法不谋而合，即先用乘法交换律，再用乘法结合律。出现分歧的是前一种算法，有观点认为单用乘法交换律，有观点认为乘法交换律和乘法结合律两者并用，而上述两位作者则坚持单用乘法交换律的观点。杜文指出：业界之所以普遍认定第一种方法综合运用了两种运算律，是因为因数7和因数8交换位置后，125和8用上了括号，假如不带括号，就是依序计算，添加括号就标志使用乘法结合律，“难道是括号在作怪？”前种简算法下，7和8交换位置后，先算125×8是自然顺序，是通则，四则运算的自然顺序不含结合律，因此只有交换作用，没有结合作用;在（a×b）×c=a×（b×c）中，就算左边的式子无括号，仍不改变先算a×b的既成事实，左边式子中的小括号起到强调重申先算的作用。

二、数序变而算序不变

【例3】23+（45+55）=（45+55）+23运用了什么运算定律？

崔文得出结论：这道题综合运用了加法交换律和加法结合律。论据有三：三个加数的顺序发生巨大变化，全部调整，因此，交换律是不言而喻的;再看算序，虽然都是先算（45+55），但是，左式中，它们分处2、3位，在右式中，分处1、2位，显然，排序发生变化，因此两种运算定律都运用其中。如果先分析算序，先相加后两数，则变成了先相加前两数。因此，毫无疑问用到了加法结合律，而与此同时，三个数的数序打乱了，由此交换律也不可避免非用不可。不管从哪方面说，加法的两个运算律赫然在列，一个都省不了。”杜文认为：“宏观看，两种运算律兼而有之。”给出的论据是：“23+（45+55）=（45+55）+23，不仅三个数的次序统统打乱，而且先求和的（45+55）的次序也由二、三位递进为一、二位，算序发生改变，因此两者都用到。两种运算律息息相关，是第一种变化附带导致第二种改变，算序变化是数序变化引起的副反应、副产物，可以不必纠结，其实左右两个式子，算序都是45+55优先，并没有被其他的算式捷足先登，算序未变，从宏观层面看，单用了加法交换律。”为了证明这一点，先来回顾乘法交换律和乘法结合律的定义。（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积保持不变，用字母表达式表示就是a×b=b×a。（2）乘法结合律：三数相乘，先求出前两个数的积，再计算与第三个数的积，或者先求出后面两个数的乘积，再计算与第一个数相乘的积，结果不发生改变，用字母表达式表示就是（a×b）×c=a×（b×c）。加法交换律和结合律与乘法的类似，不再赘言。通过温习旧知，需要重申以下几点：（1）结合律中左式中的括弧，对算序没起作用，只是为了美观对称，书写时一般不轻易省掉;（2）随着数域的扩展，公式的字母可以表示各种数型，整数、小数、分数均无不可，当然，这些字母既能代表数值，也可表示一个抽象的式子;（3）交换律只改变数序，不改变计算顺次;（4）结合律的作用仅仅是改变算序，而不改变数序。下面就按此逻辑来研磨上述三题。在例1中，左式预定的是求三个数的和，按照正常顺序，要求出25+38的和值63，再用这个和值63与75求和，得到138。而右式（25+75）+38是左式变换之后得到的，变形经过是这样的：25+38+75=25+（38+75）（运用了加法结合律）=25+（75+38）（括号里运用了加法交换律）=25+75+38（去括号）=（25+75）+38，因此这道题综合运用了两种定律。流行观点认为，最后一步用到结合律，笔者不敢苟同，此处没有运用任何定律，只是按正规程序计算，是对加法结合律书写美观需要所致，是习惯问题;第一步才是结合律的落脚点，一般情况下，这一步被自动忽略了。这里，的的确确使用了加法结合律，但这也仅仅属于38和75的结合，而绝非崔文所言第一个和第三个加数结合。38和75先结合起来，再交换位置，两种运算律使用上有先后之别，却无主次之分。

三、加括号原为对称美

对于例2（1），笔者觉得逻辑应该是这样的：125×7×8=125×（7×8）（运用了乘法结合律）=125×（8×7）（运用了乘法交换律）=125×8×7（去括号），之后原式=（125×8）×7=1000×7=7000，所以这道题依然是综合运用了两种运算律。在例2（2）中，显现的是粗线条，而不是整个来龙去脉，但是不能因为出示了粗线条而曲解它，其中（125×8）×7一步，将前面两个因数括起来，有人就想当然觉得是用了乘法结合律。正如前文所言，是为了造成美观效应，按照惯例行事，与运算律一概无关，说是括号引起的误会，实在是冤枉了括号。对于例3，崔文提出，这道题是合用了两种运算律，在引言中，作者是站在三个数的视角来探析;杜文也是如出一辙，分析后说：“……，所以运用了交换律和结合律……”最后又说：“宏观来看，单独使用了乘法交换律。”这段话让人摸不着头脑，莫名其妙。前后矛盾的说法，让人无所适从。其实这个问题也很好解释：23+（45+55）不应视为三个数，而应该把（45+55）视为一个数，也就是一个基础的加法算式（因为原式中把45+55括起来，已然是一个整体），在这里就只涉及加法交换律，没有其他。看成三个数，是站不住脚的，没有看透加法运算本质，浪费时间，最后走进迷宫，只有原地打转，无法逃脱。

以上是笔者个人的分析，望能抛砖引玉，引发广大教师更深入的探讨。

（责编 黄春香）