关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（三）

刘宪升

[摘要]在通过折叠拼成平角验证三角形的内角和的验证方法的教学实验中得到：折叠锐角三角形纸片比折叠其他形状的三角形纸片容易;展示折叠结果或折叠过程及结果对学生有帮助，比起展示锐角三角形，展示直角或钝角三角形的折叠结果或折叠过程及结果对学生的帮助更大;而折叠带有折叠线的三角形纸片，除个别学生外都能折叠成功，失去了探究的意义。针对以上现象，对验证方法的完善给出了相应的建议。

[关键词]三角形;内角和;猜想;验证

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）32-0012-05

一、问题的提出

研究（二）对教材中设计的“三角形内角和等于180°”的探究活动做了分析。文中指出，通过折叠将三个角拼成平角的验证方法，如在三角形纸上不画出折叠的虚线，则具有较强的技巧性和较高的难度，易让学生对数学产生畏惧心理;若画出折叠的虚线，则又变成了机械式的操作活动，失去了探究的意义。其实，这些结论不仅来源于分析，更重要的是来自笔者的教学实验。本文就对教学实验及结果做逐一分析。

二、实验方法

1.样本的选择与分布

以青岛西海岸新区某学校两位教师所教四年级4个班（1班、2班、3班、4班）的学生作为研究对象。在升入四年级前的暑假，该校根据学生三年级的成绩重新分班，故各班情况没有明显的差异;另外，对四年级上学期期末四个班的数学成绩进行数学统计检验后发现，各班之间也没有显著性差异。因此，所选样本具有较强的代表性。再者，为便于比较研究和提高课堂效率，各班均按学生学号最后两位数除以3，余数相同的归为一个小组，各组分别抽取不同形状的三角形纸片，根据三角形纸片的形状，将三组简记为：锐角组、直角组、钝角组（各班各组人数分布见表1）。

2.实验的实施

教学按正常的教学计划，于2019年4月23日在四个班进行。为避免学生课堂上看教材或个别学生提前预习教材影响实验结果，在2019年4月19日放学时就把学生的教材收了上来，发给学生学案，以代替教材。当课堂上提出“三角形的内角和等于180°”的猜想后，紧随其后的是以下折叠操作验证（下面简称“测试”）。

测试1：给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，即锐角、直角、钝角组分别发图1、图2、图3所示的三角形纸片，让学生进行折叠。

测试2：给各组学生按测试1的要求每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：

（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的拼成结果图（图4）;

（2）在多媒体屏幕上展示直角三角形的拼成结果图（图5）。

测试3：按测试1的要求，给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：

（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的折叠过程及拼成結果图（图6）;

（2）在多媒体屏幕上展示钝角三角形的折叠过程及拼成结果图（图7）。

测试4：给测试班各组学生每人发一张带一条折叠线的对应形状的三角形纸片（图8），让学生进行折叠。

测试5：给测试班各组学生每人发一张带三条折叠线的对应形状的三角形纸片（图9），让学生进行折叠。

说明：（1）测试要求学生把三角形纸片通过折叠（不准撕，也不准剪）将三角形三个内角拼在一起，看能不能拼成平角;

（2）为了提高课堂效率，尽可能通过测试比较发现影响折叠成功与否的因素，也为避免不同班间的差异，将题目搭配成四组（每组3题），再让四个班与四组题进行对应（测试题分布见表2）。

（3）每个学生都折叠3次，每次折叠时间6分钟，教师及时收集学生的折叠结果，然后发放下一次折叠的材料，整个过程大约20分钟。

三、实验结果

为叙述方便，学生折叠后能拼成平角称为成功（简称“成”）;拼不成则称为“失败”（简称“败”）。

1.测试1的实验结果

测试1给出的三角形纸片不画线，也不展示结果，一方面是看学生在没有提示的情况下到底能不能折叠成功，以及有多大比率的学生能折叠成功;另一方面也是为了考察四个班及不同组间的差异情况（学生折叠成败情况见表3）。

由表3可以看出，四个班学生折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为35.53%、18.42%、20.83%;不区分三角形形状，总的成功率为25%，只有四分之一的学生能折叠成功。这说明如果不展示拼成结果，也不画出折叠的线，只提供三角形的纸片让学生折叠，能折成平角还是难度比较大的;也说明折叠锐角三角形纸片比折叠其他形状的纸片容易。那是否存在显著性差异呢？我们进行了统计检验。

首先，四个班折叠同形状三角形小组之间进行比较检验，锐角组之间、直角组之间、钝角组之间的x²值分别为0.6255、0.9076、0.2853;四个班不区分性状总体之间比较，x²=0.1912。这些值均小于临界值X_0.05[df=3]=7.815，故不管是同种形状之间还是总体之间，四个班不存在显著性差异。

其次，四个班折叠不同形状三角形的小组之间进行比较。四个班总体上锐角组与直角组、锐角组与钝角组之间的X²值分别为6.1263、4.1804，均大于临界值X^0.05[df=1]=3.841，说明折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他三角形纸片。而比较折叠直角三角形与钝角三角形，X²=0.1366，小于临界值，说明折叠直角三角形与钝角三角形纸片的难度没有显著性差异。

由上可见，在不展示折叠结果及过程，也不画出折叠线的情况下，学生折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他形状的三角形纸片;学生折叠同形状的三角形纸片之间及总体成功率之间均不存在显著性差异（这也为我们分班进行测试和分析提供了依据），但能折叠成功的学生仅占四分之一，多数学生不能折叠成功。

2.测试2的实验结果

测试2的结果见表4。

由表4可以看出，1、3两个班折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为50%、39.47%、41.67%;若不区分形状，总的成功率为43.75%，还不到人数的一半。还可看出，1班的成功率高于3班;两个班及总的成功率也都高于测试1。那是否有显著性差异呢？我们进行下面的比较检验。

（1）两个班折叠同种形状三角形纸片间的比较分析

两个班的锐角组之间、直角组之间、钝角组之间分别进行比较检验，X²值分别为0.1056、1.0231、1.0625，均小于临界值X^0.05[df=1]=3.841，说明两个班折叠同种形状的对应小组之间无显著性差异。两个班不区分形状的总体成功率经比较检验，X²=0.9149，也不存在显著性差异。因此，虽然1班折叠直角、钝角三角形纸片的成功率比3班高不少，看起来展示直角三角形纸片的折叠结果（1班）比展示锐角三角形纸片的折叠结果（3班）的帮助大，但整体上并没导致显著性差异。

（2）两个班测试1与测试2的比较分析

总体上，学生折叠锐角三角形、钝角三角形纸片与测试1比较，X²值分别为1.3206、2.7153，均小于临界值X_0.05[df=1]=3.841，说明展示结果后，折叠这两种形状纸片的成功率没有明显提高;折叠直角三角形纸片的成功率与测试1比较，X²=5.0313>X_0.05[df=1]=3.841，说明展示结果后，折叠直角三角形纸片的成功率有显著提高。不区分三角形的形状，两个班总体成功率与测试1比较，经X²检验，X^0.01[df=1]=6.6352=10.8280.001[df=1]=10.828，存在显著性差异。这说明展示结果后，折叠的总成功率有显著提高。可由于1、3班分别展示的是直角和锐角三角形的折叠结果，它们各自的影响程度到底如何呢？为此，我们对同班的两次测试进行比较。

比较1班的测试1与测试2，折叠锐角三角形、直角三角形、钝角角三角形纸片的对应小组之间进行比较，X²值分别为0.4373、5.4625、3.3978。可见，折叠直角三角形纸片两次测试之间的X²值大于临界值X^0.05（df=1）=3.841，说明展示直角三角形的折叠结果，对学生折叠该类型纸片的成功率有显著的帮助，对折叠钝角三角形纸片帮助也比较大，而对折叠锐角三角形纸片帮助不大。但比较不区分形状的两次测试，X²=6.5109>X^0.05（df=2）=5.991，存在显著性差异，说明展示直角三角形的折叠结果可以显著提高折叠成功率，只是对折叠不同三角形纸片的帮助程度不同。

比较3班的测试1与测试2，折叠锐角三角形、直角三角形、钝角角三角形纸片的对应小组之间进行比较，X²值分别为1.8188、1.4387、0.5714，均小于临界值X_0.05（df=1）=3.841，說明展示结果后，虽然折叠的成功率有了提高，但没有显著性提高。不区分性状两次测试总体之间的比较，X²=2.60830.05[df=2]=5.991，也不存在显著性差异，说明展示锐角三角形的折叠结果虽对折叠有帮助，但没有显著提高折叠成功率。

由上可见，展示折叠结果对学生折叠有帮助，但展示直角三角形的比展示锐角三角形对学生的帮助更大。可是，从两个班折叠总的成功率43.75%来看，还是有超过一半的学生不能折叠成功。

3.测试3的实验结果

测试3的结果见表5。

由表5可以看出，2、4两个班折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为63.16%、52.63%、58.33%;若不区分形状，总的成功率为58.04%。还可看出，两个班的成功率都高于测试1，4班的成功率高于2班，这说明展示折叠过程及结果对学生有较大的帮助，但到底有没有显著性差异，我们进行下面的比较检验。

由上可见，展示折叠过程与结果，总体来说对学生折叠成功都有极大的帮助，而展示钝角三角形的比展示锐角三角形的对学生的帮助要大得多。可是，从两个班折叠总的成功率58.04%来看，还是有四成多的学生不能折叠成功。

4.测试4与测试5的实验结果

测试4与测试5的结果见表6。

由表6可以看出，不管是测试4还是测试5，所测两个班学生折叠的总体成功率都在94.64%以上;四个班总体折叠的成功率达到95.54%。另外，对四个班折叠同种形状和不同形状三角形纸片的成功率之间，以及四个班整体成功率之间进行X²检验（其值不再一一列出），均不存在显著性差异。说明折叠带有折叠线的三角形纸片，除了个别动手能力确实差一些的学生外，基本都能折叠成功。这是比较符合实际情况的。

四、讨论与建议

1.折叠三角形纸片拼成平角的探究活动对学生发展的意义不大

由上面的实验结果可以看出：首先，在不展示折叠结果及过程，也不画出折叠线的情况下，学生折叠三角形纸片拼成平角比较困难。有四分之三的学生不能折叠成功，在课后调查发现，能折叠成功的学生大多数是在课外辅导班或家长的指导下折叠过。其次，展示折叠结果对学生虽然有帮助，但还是有超过一半的学生不能折叠成功;在展示折叠过程及结果的情况下，能折叠成功的学生不到六成，这其中还有进行第二次折叠经验的因素存在。因此，这样的探究活动对不少学生学习数学的信心是个打击，更重要的是，它重在考察学生的动手能力，对思维的启迪作用不是很大。第三，如果给学生的三角形纸片带有折叠线，哪怕是一条线，除了个别学生外都能折叠成功，这就变成了一种机械式的操作。因而，此验证方法对学生的发展意义不大。

另外，展示折叠结果或展示折叠过程及结果的设计，虽然在一定程度上能促进学生思考，但是展示不同形状的三角形对学生的启发也不同。展示锐角三角形的折叠结果或折叠过程及结果，不如展示直角或钝角三角形的对学生的启发大。这是因为，对于锐角三角形纸片，无论先折叠哪个角，也无论先往哪条边上折叠，都能将三个角拼成一个平角，而折叠直角或钝角三角形纸片，只有先用最大角的顶点往对边上折才能折叠成平角。因此，展示直角和钝角三角形中的一种三角形的折叠结果或折叠过程及结果，可启发学生先折叠大角，进而应用到其他三角形纸片的折叠上。而不管展示何种形状的折叠结果或折叠过程及结果，对学生折叠锐角三角形的启发都不是很大。

2.建议

首先，验证三角形内角和猜想的方法，还是引导学生剪下三角形纸片的两个角，然后将三个角拼成一个平角最佳。这样学生好想、好操作，可大大提高课堂效率。研究（二）中提到的人教版教材只设计了这一种验证方法，显然还是符合学生实际情况的。

其次，建议教材编写时去掉折叠拼成平角的方法。因为，教材编写不是猎奇，不是弄一些巧法、妙法来炫耀或为难学生，进而使学生对数学产生恐惧心理。若要保留此方法，一是可以作为课外活动内容;二是作为课堂内容时，展示直角或钝角一种三角形纸片的折叠过程及结果，以促进学生思考。苏教版教材展示钝角三角形的折叠结果对学生来说还是有较强启发性的。

第三，教材编写时应去掉带有折叠线的设计。因为这变成了纯粹的机械式操作，不能启发学生思考，没多大意义，它的作用也就是让学生在课堂上“忙活一阵”，体现“课堂气氛活跃”。

（责编 金铃）