核心素养视角下反证法解题思路研究

胡昊宇 张志平

[摘  要] 反证法是数学证明的方法之一，解题过程遵循否定之否定规律和事物之间的矛盾规律. 文章以核心素养为切入点，通过对一些技巧性较强的奥赛题进行解题分析，培养中学生的数学解题能力，提高其数学核心素养.

[关键词] 反证法;核心素养;解题研究

■核心素养视角下的反证法相关理论探究

对于一些难以使用分析法直接去证明的思考题（若p成立，证明q），可以考虑不用直接去证明它，而是将命题q进行否定并把q作为前提，并加入原命题中，通过推理得出与所给条件或相关定理、定义相互矛盾的单个或者若干个结论，从而证明出原命题成立的一种解题思路，这就是反证法.这种方法对培养学生的逻辑推理能力有很大帮助，在学生的数学学习中有重要的意义.逻辑推理能力强的学生在相关证明题中表现更游刃有余，掌握相关数学问题的解题方法将会更迅速.逻辑推理素养的提高还有助于培养学生的生活应变能力，学生在将来的工作、生活中会遇到更多复杂多变的难题，良好的逻辑推理能力将会帮助他们灵活处理这些问题，有助于难题的解决.

证明逆否命题，就是在使用反证法，这是反证法的第一种形式，就是假设命题q，通过一系列的推理推出了与命题p矛盾，即q→p，但是用反证法并不一定就是在证明逆否命题，这是因为反证法的解题方式并不固定，反证法有多种解题形式，第二种形式是把q作为前提，与已知前提p相结合推出p（与p相矛盾）.第三种形式应用难度较大，是把q作为前提，与已知前提p相结合推出两个自相矛盾的结论. 第四种形式是以q为前提与p相结合推出一个与公理、定理以及已知真命题相矛盾的结论. 第五种形式是把q与原命题前提中的p相结合推出与原命题p中的p′相矛盾的命题■.

五种形式的解题思路：

1.？摇假设q不成立，直接推理之后得到的结论与p相矛盾.

2.？摇假设q不成立，结合p之后推出的结论与p矛盾.

3.？摇假设q不成立，结合命题p之后推出了两个自相矛盾的结论.

4.？摇假设q不成立，结合命題p推出的结论与已有的正确结论矛盾.

5.？摇假设q不成立，结合命题p推出的结论与命题p的一部分p′矛盾.

■核心素养视角下的反证法数学解题研究

例1：△ABC和△A′BC有公共边BC，且A′C+A′B>AB+AC，

求证：A′一定在△ABC的外部.

证明：假设A′不在△ABC的外部，这时A′会在△ABC上或者在其内部，当A′在△ABC上时，假设A′是AC边上的任意一点，画出相应的几何图形（如图1）.

如图1所示，若A′在AC边上，则AB+AA′>A′B，所以有：AB+AA′+A′C>A′B+A′C，即A′B+A′C

同理可证出A′也不可能在AB，BC边上.

当A′在三角形内部时，设A′在三角形内部的任意一点，画出相应的几何图形（如图2所示）.

延长BA′交AC于D，则AB+AD+DC>A′B+A′D+DC>A′B+A′C，所以有：AB+AC>A′C+A′B（与已知条件矛盾），因此A′也不在三角形内部.

思路分析：本题采用了第二种形式的反证法，与穷举法相结合，分两种否定的情况，结合“△ABC和△ABC′有公共边BC”这个条件将假设一一推翻. 本题由于没给出相应的几何图，学生只能通过绘图并进行观察，将反证法和“三角形的两边之和大于第三边”概念相结合.本题的技巧性和综合性较强，有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象素养.

例2：△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B<90°.

证明：假设B≥90°，则a，b，c中b最大，则■，■，■中■最小，所以有：■-■>0，■-■<0，显然■-■≠■-■，三角形三边的倒数不成等差数列，与题干矛盾，命题得证.

思路分析：本题采用了第一种形式的反证法，直接通过证明逆否命题从而证明原命题成立，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养.

例3：已知a，b，c为实数，满足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.

证明：本题的解法与例1类似，需要使用穷举法将所有假设条件一一推翻.

（1）假设a=0，则b+c>0且bc>0，但abc=0，与题干中的abc>0相矛盾，所以a≠0.

（2）假设a<0，根据已知条件，bc<0，b+c>-a？圯b+c>0，

由题a（b+c）+bc>0，得到：b+c<-■<0（推出了两个自相矛盾的条件），所以a>0.

思路分析：本题使用了反证法解题思路的第三种，有利于培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养.

例4：设二次函数f（x）=x2+px+q，求证：f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

证明：假设f（1），f（2），f（3）均小于■，则有

f（1）+2f（2）+f（3）<2（1），

f（1）+2f（2）+f（3）≥f（1）-2f（2）+f（3）=（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）=2（2），

显然（2）式与（1）式相矛盾，推出（2）式与假设矛盾，所以原命题成立.

思路分析：本题难度不大，运用了反证法的第三种形式. 但学生在假设之后需要反复地对假设和题干进行观察和计算，与绝对值不等式相结合，建立的不等式需要大于某个定值.因此学生需要对恒等式进行变换和计算之后得出某个定值，最终实现解题的目的. 需要学生有较为灵活的数学思维和敏锐的观察力，对学生的数学抽象素养和数学运算素养是一个很大的考验.

例5：设f（x）和g（x）是定义在[0，1]上的函数，求证：？埚x■，y■满足0≤x■≤1，0≤y■≤1，有x■y■-f（x■）-g（y■）≥■.

证明：假设对？坌x■，y■∈[0，1]，都有

x■y■-f（x■）-g（y■）<■，

取x■=0，y■=0，有0-f（0）-g（0）<■;

取x■=0，y■=1，有0-f（0）-g（1）<■;

取x■=1，y■=0，有0-f（1）-g（0）<■;

取x■=1，y■=1，有1-f（1）-g（1）<■，

并且由绝对值不等式：

1=[1-f（1）-g（1）]-[0-f（1）-g（0）]-[0-f（0）-g（1）]+[0-f（0）-g（0）]

≤1-f（1）-g（1）+0-f（1）-g（0）+0-f（0）-g（1）+0-f（0）-g（0）<4×■=1（推出了自相矛盾的命题），因此原命题得证.

思路分析：本题采用了第三种形式的反证法，具有一定的技巧性，考查了学生对绝对值不等式的灵活运用程度.学生在本题中除了需要将第三种反证法和绝对值不等式相关知识结合运用以外，还需要采用特值法、构造法. 本题培养了学生的逻辑推理、数学抽象素养.

■小结

使用反证法的习题难度较大，学生需要综合性地运用相关数学知识，熟练掌握反证法的五种形式. 反证法的解题往往要求学生具有较强的逻辑推理能力，将所学的基础数学知识抽象出来并加以灵活运用，并结合反证法的解题思路从而达到解决一些技巧性较强的问题的目的. 学生在参加奥数竞赛时若碰到一些无法直接证明的考题时，可以考虑使用反证法，通过对题干的不断观察和反复思考，找出考题和知识之间的联系，最终达到解决问题的目的. 反证法一般适用于：直接证明无从着手的问题;由部分推整体的问题;所证结论范围较大的问题.